举一反三
- 设[p=align:center][tex=25.286x2.786]DC5nH2VXicvarJPcT/8DcREQl36dwwi+5uU0ZTh+dh1uMweuOFwyw7zYrQ1hTkoSb7X3/LQBZMoqXSr29DOp5njsaNjBvFx7+qGhaIgj3gr4DLUGFOrgIquM/QMZewVa4/fkBhgy9a9J5WKR+wT2XvB+OHrPGzeO8s98+r+oLEZ7ObEj8MJu8hxPGskh+NyJEVoRHbuiey9RZaTuf3wxZ8t8v/kwPMojHtqmljEXSp1q5IVvItI293G8eSVXq3x4COhH/xRqVOB2ulxdPfli+iNDz03SexoJIXR2ERVbgl8=[/tex]证明: [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 关于矩阵的加法与乘法构成一个环, 且 [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的一个极大理想.
- 设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]为实数集. 问：[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]关于数的普通加法以及新规定的乘法[p=align:center][tex=3.786x1.357]iPHWC7DzDH/VcYnxKnhrApzUjX1G5eB4n8TaJ0t/Tv4=[/tex]是否作成环？
- 设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个环，并且[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]对于加法来说作成一个循环群，证明[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个交换环。
- 设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个交换环. 令 [tex=22.714x1.357]Ox9qLjqRljsr8zy3ePvBrDWTtOx362qRNDpflc+WVBVHtZHYW94HuuaDOWU0hPrFuE/UpoO4Zl/X3hnab7I6R6G7hpXA61s5I/pCzHhVS96KZtqvem5DAON9NJVsKPqDNNIOQC4Vq7VmLOdy4jC3kQ==[/tex]是系数在 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]上的一元多项式的集合. 按通常多项式的加法和乘法定义[tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 中的加法和乘法. 证明 [tex=2.5x1.357]jLtTNY8xgtIxCzUe7Pl3VQ==[/tex]按这样规定的运算构成一个交换环.
- 设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 为环, [tex=1.5x1.214]VxtvWlgGBBypyenN8OD8Wg==[/tex] 是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的两个理想. 令[p=align:center][tex=11.5x1.357]8CM8TB92oV/hI4hxvCjpVOI3C17io1Q4g2yEZDWMOr94qwSdpSa3twYxbMsnM69a51YRJPm5UjHeMkuicETmlg==[/tex]证明: [tex=2.429x1.357]fvTZI9dBC5syJ0twORMkxA==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想.
内容
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设环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 对加法作成一个循环群，证明 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是交换环。
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设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个环，在[tex=2.714x1.143]eUSUOmZqe3h2PL1S4fH02FGTr8WV5z6ztlKrlcoXhSM=[/tex]中定义加法及乘法为[tex=11.214x1.357]/teWOzvlACn0WUZjQogaWI+8DYnPCdnCShYQAajeZGA=[/tex]，[tex=13.143x1.357]dgzfoCyYq/iY+ZTOvM+gDdbbQ83gDko/mDo0x3LQ5qFYgDH5Ve6ZL0/wjTtFagNA[/tex]，[tex=3.143x1.214]npydsCcdYUholqtFHoI6bBb+98k8AQvRNvGlE0pP1fM=[/tex]，[tex=2.857x1.214]w/+Nr+NFAwmqP3Kfm8dewQ==[/tex]。证明[tex=2.714x1.143]eUSUOmZqe3h2PL1S4fH02FGTr8WV5z6ztlKrlcoXhSM=[/tex]是一个幺环且有一双边理想与 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]同构。
- 2
设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元的环. 证明: 环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的可逆元全体 [tex=2.286x1.357]VSrq2EBbjY/lzOCsf2jcIg==[/tex] 关于环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的乘法构成群.
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证明 设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元 [tex=0.5x0.786]rCTQ93hYjIOF3vc8FasIqg==[/tex]的环, 则映射[p=align:center][tex=5.143x1.214]4huI4vPuOC5DwSwh9v+pqmZ8zIR4uMpqJJGCJdNZD5284UHYZUBluqcDPeiVBFsU[/tex][p=align:center][tex=3.857x0.786]xjKJOk7jgWMso5Sqhr+k7m3CrOAppVSxOnlWEawUee8=[/tex]是环 [tex=0.714x1.0]oaXPjenEQATpEhakjoja5g==[/tex] 到 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的同态.
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设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个交换环. [tex=2.929x1.357]wNZYyFzs1adFMqSe7mkJQQ==[/tex] 表示 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 上的全体 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶方阵的集合. 与数域的情况一样可定义[tex=2.929x1.357]wNZYyFzs1adFMqSe7mkJQQ==[/tex] 中的矩阵的加法和乘法运算. 证明: [tex=2.929x1.357]wNZYyFzs1adFMqSe7mkJQQ==[/tex] 关于这两种运算构成一个环.