当[tex=2.357x1.286]m4e4zGHADczGKCutJ7tDYQ==[/tex]时，证明不等式[tex=3.214x1.286]Ivw459E9jKnHDyRIEoFXfA7bFwRKCF0Wy5QruTReQLs=[/tex]。

2022-07-27

当[tex=2.357x1.286]m4e4zGHADczGKCutJ7tDYQ==[/tex]时，证明不等式[tex=3.214x1.286]Ivw459E9jKnHDyRIEoFXfA7bFwRKCF0Wy5QruTReQLs=[/tex]。

答案：

知识点：导数的应用或者泰勒公式的应用。思路：利用泰勒公式可以证明一些不等式，利用函数单调性也是证明不等式常用的方法。解：方法一：令[tex=6.286x1.286]OXxAFaYGFS/5NBfyScpMJfyjYgDUok096eW4fnBma30=[/tex]，则当[tex=2.357x1.286]m4e4zGHADczGKCutJ7tDYQ==[/tex]时，[tex=8.286x1.286]nOJBJucVwlQuHq02hM9TsrLIIBbbrjOabBzDFENSiGf8aZ0U5yQeBd/7OCapXgox[/tex]，[tex=9.357x1.286]YRReUQzIsdcIgxj5peM19GATQCgQQmMCyZ4U2v6mDtTj4M+jjylpJAlRDdS7l0TO[/tex][tex=9.357x1.286]YRReUQzIsdcIgxj5peM19JTj8ggjqUre1R/32ZgOFSkyw65+YU3rzDmyXo1aSoAS[/tex][tex=12.857x1.429]HHuyjiumwPS6oE0OKfiZtiSrlLLv0ffoLGAWMr3nERxmoDs20cvlj5+p6zl9SxUGFSrH2ESSfxvFo5KxO9SmtdWQ3j6QN2cjWDpLXPLAlzo=[/tex]，[tex=0.714x1.286]Mjp1ERIg12NQkOrp1BseMg==[/tex][tex=8.286x1.286]nOJBJucVwlQuHq02hM9TsrLIIBbbrjOabBzDFENSiGf8aZ0U5yQeBd/7OCapXgox[/tex]在[tex=3.357x1.286]gQCyFeK54W/p5dPh3YNdJHSMgfyoPd9oChJuXOpKRxg=[/tex]内严格单增，从而[tex=9.286x1.286]nOJBJucVwlQuHq02hM9TsiXs9T+RL6D71QJcbwHhkIz0kZu599Nki1D6sy0/TxUw[/tex][tex=15.571x1.286]0JoO6+7n22FWY7SvotHWAHYzHawUV/nJ9OND0KZ7Yt0tDBgDG53NCHGc/ODRTUXC[/tex]，[tex=0.714x1.286]Mjp1ERIg12NQkOrp1BseMg==[/tex][tex=6.286x1.286]OXxAFaYGFS/5NBfyScpMJfyjYgDUok096eW4fnBma30=[/tex]在[tex=3.357x1.286]gQCyFeK54W/p5dPh3YNdJHSMgfyoPd9oChJuXOpKRxg=[/tex]内严格单增，在[tex=3.357x1.286]gQCyFeK54W/p5dPh3YNdJHSMgfyoPd9oChJuXOpKRxg=[/tex]内，[tex=13.0x1.286]OXxAFaYGFS/5NBfyScpMJem3x2UsLMNumgywxGSIvBM=[/tex][tex=0.714x1.286]Mjp1ERIg12NQkOrp1BseMg==[/tex][tex=3.214x1.286]Ivw459E9jKnHDyRIEoFXfA7bFwRKCF0Wy5QruTReQLs=[/tex]，结论成立。注：利用[tex=2.357x1.286]YRReUQzIsdcIgxj5peM19DyTRMpfmVCkoDfm0gt/rIw=[/tex]的符号判断[tex=2.143x1.286]FKq9v1pXcOtjy1Cl2h+pXv4qvrtr57gpoaVePO4m860=[/tex]的单调性，利用[tex=2.143x1.286]FKq9v1pXcOtjy1Cl2h+pXv4qvrtr57gpoaVePO4m860=[/tex]的单调性判断其在某区间上的符号，从而得出[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在某区间上的单调性，也是常用的一种方法。方法二：令[tex=8.714x1.286]4Cn4rwSj6ChxfUs5bIlEhUjZXv5r2diZQN6n1yz4lUo=[/tex]，当[tex=2.357x1.286]m4e4zGHADczGKCutJ7tDYQ==[/tex]时，[tex=7.857x2.0]nOJBJucVwlQuHq02hM9TsuDQQXlT1KA3PUeoxOgFc/f8RmuBFq02agl9l+4QEnDy[/tex][tex=10.714x2.0]UftoC+KLPTw/5ydZa6p02Tvfj/Zzp03AtQdBRUnabBENyuZ1XGvqZzF5rSFPk30+rhtkqvaQ8SWEjjAhZQt6MA==[/tex]，[tex=0.714x1.286]Mjp1ERIg12NQkOrp1BseMg==[/tex][tex=8.714x1.286]4Cn4rwSj6ChxfUs5bIlEhUjZXv5r2diZQN6n1yz4lUo=[/tex]在[tex=3.357x1.286]gQCyFeK54W/p5dPh3YNdJHSMgfyoPd9oChJuXOpKRxg=[/tex]内严格单增，[tex=0.714x1.286]Mjp1ERIg12NQkOrp1BseMg==[/tex][tex=20.286x1.286]4Cn4rwSj6ChxfUs5bIlEhTHKhY+duOZFmxaxTFicS8n/nRb0xE7InUdmzIhVxqdHQuzcWZMT6wBJ39cjrr2dRQ==[/tex]，从而有，[tex=5.643x1.286]HLwqE3Iw6m229mm+LB++KuWvnCBuG9dfrmkZbjk/3f8=[/tex]，[tex=0.714x1.286]Mjp1ERIg12NQkOrp1BseMg==[/tex][tex=5.714x1.286]mM6kdpBPw9AoXMzDeBLQVzGf7r8U0GQ2n+VWzkCQlpY=[/tex]，即[tex=3.214x1.286]Ivw459E9jKnHDyRIEoFXfA7bFwRKCF0Wy5QruTReQLs=[/tex]，结论成立。

举一反三

内容

0
证明下列不等式：当x>1时，[tex=5.571x2.357]cu8b01R+7uITdLa6NsPEW6TmtQGeN2pfZxFE3bC0pvs=[/tex]
1
证明：不等式[tex=4.143x1.143]V1cMVpAPlZC/oEIH8POnKKkri2N/1cnaxqDWfusMqZA=[/tex]，等式仅在[tex=1.857x1.0]3eSlq+W5GTl4xGu7dhqzgw==[/tex]时成立.
2
求曲线[tex=3.214x1.286]Un3XOfZ82HHP4fgDNI1rndnSeLPYRXA0RmCKk6smxGI=[/tex]，由[tex=2.357x1.286]F20DA9b5PZyvxJH27l4LOQ==[/tex]到[tex=2.357x1.286]jgIRiGqlkdCMqO92sJAASg==[/tex]的弧长。
3
证明：前[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]个自然数之和的个位数码不能是 2、4、7、9
4
证明：性质4.1.1：对任意的[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]元向量[tex=0.643x1.286]vYiGJJ9TAtvnQmM1PsOB8g==[/tex]，任意的数域[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]中的数[tex=0.571x1.286]pc/qlnA3cxu8Ag9jp3tYHQ==[/tex]有：（1）[tex=3.214x1.286]pYlN65a+aE8mGrzVeXx5OqcKNqveAmk8uyvu42Ujs4U=[/tex]；（2）[tex=3.357x1.286]1Wb26Sca0q6Eh2SJKbHJKA==[/tex]；（3）[tex=10.571x1.286]1PXjPnro/3jggxuSNLIr6YoRW4u5KfI26icnjoaAmumK57imm5hm44qAu64lYEnr[/tex]；（4）若[tex=3.214x1.286]BcKremRZF/BhfoSblAG1XVbCRY4CIH2jndszWufPJis=[/tex]，则或[tex=2.357x1.286]b9GUEP96aCX9AclOEgSdgg==[/tex]，或[tex=2.714x1.286]gzzludUkBpLyywY1EB936w==[/tex]。