设[tex=1.929x1.929]CHXoNrjsRPwgtkQrGTinWg==[/tex]是一切次数小于[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]的实系数多项式，并添上零多项式所形成的线性空间．试证：[tex=13.143x1.5]K+o6VbozGcyzt3R1FNDVgEse9+cqLVhkjDbpDAlB9KeGRtKgM50qDX45xjsAQS8W[/tex][tex=2.357x1.143]odTH0p5clPZMk1jQf4ctjw==[/tex]是[tex=1.929x1.929]CHXoNrjsRPwgtkQrGTinWg==[/tex] 的一组基．
举一反三
- 多项式[tex=2.643x1.357]i+VxqnE17KYcKjLCA4F+Sg==[/tex]是[tex=2.143x1.357]dWatJMLI7pN/xzYgReR9Ug==[/tex]中所有次数整除[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]的不可约首 1 多项式的乘积. 特别地, [tex=1.0x1.286]tfOKBWaLBHOxp4502/oePg==[/tex]上任一[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]次不可约首 1 多项式均是[tex=2.643x1.357]i+VxqnE17KYcKjLCA4F+Sg==[/tex]的次数最高的不可约因子.
- 证明：次数＞０ 且首项系数为 １ 的多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是一个不可约多项式 的充分必要条件是，对任意多项式[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]必有(f(x), g(x))=1，或者对某一正整数[tex=6.0x1.357]bR39wf/Hz75eMrt08Xqk8wt4bXTUCgLbWgBjqC5Zmko=[/tex]．
- 证明:次数大于0的首一多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是，对任意的多项式[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]或者有(f(x), g(x))=1[tex=6.786x1.357]LBShIAKXyumE73h8+CWE0g==[/tex],或者对某一正整数[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex],[tex=5.214x1.357]2b+0ZPIn+JhnqeNAq++wBM+CF08EAq9ClmGz91b+CDs=[/tex].
- [tex=1.929x1.357]dWatJMLI7pN/xzYgReR9Ug==[/tex]中[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]次首 1 不可约多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]称为[tex=2.143x1.357]dWatJMLI7pN/xzYgReR9Ug==[/tex]中的[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]次本原多项式, 如果[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]的某一根[tex=0.643x0.786]cnVwa8IjZzNSEmAUXJ8VCQ==[/tex]是域[tex=2.357x1.357]0VK3/N/fLOoUyml49ohHEw==[/tex]的乘法循环群的生成元. 证明[tex=2.143x1.357]dWatJMLI7pN/xzYgReR9Ug==[/tex]中共有[tex=4.071x2.429]0drReSlpMjMXE1rfRani/DeJvia0KsjFAPcCA14ydQuvAviOTTpbJlfkinpauZHT[/tex]个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]次本原多项式, 其中[tex=2.071x1.357]Q3CGpDoBA3UwvlngA8cIKQ==[/tex]是 Euler 函数 (即[tex=2.071x1.357]Q3CGpDoBA3UwvlngA8cIKQ==[/tex]是小于[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]的正整数中与[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]互素的正整数的个数).
- 设[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]是一个域，[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是[tex=1.786x1.357]DpXALeWBl8+QhoNGSoieqQ==[/tex]中的[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]次多项式：[tex=15.429x1.5]07ax/Xs/01ngg5bIKaxR16ZB9VQJRAHO3jweza+gU/WFGfSrVZ+Ndv8oEublbYvrZslBu41jLcasUg94aKVAdA==[/tex]。证明：如果[tex=4.071x1.357]kvR4L32wSpejYBQZorfc5A==[/tex]，那么[tex=2.214x1.429]i+dnt0m+Vi0IpEF4DSu/zA==[/tex]的次数小于[tex=1.929x1.143]odTH0p5clPZMk1jQf4ctjw==[/tex]。