设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]为[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶矩阵，且[tex=3.5x1.286]pNlgQRZwjrj3Pee0lSCeDw==[/tex]可逆，证明[tex=3.5x1.286]qD2tKD6E+0icAS4VYEF/fA==[/tex]可逆．

2022-06-29

设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]为[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶矩阵，且[tex=3.5x1.286]pNlgQRZwjrj3Pee0lSCeDw==[/tex]可逆，证明[tex=3.5x1.286]qD2tKD6E+0icAS4VYEF/fA==[/tex]可逆．

答案：

证：由于[tex=17.714x1.286]iK5YUpdYCWP12sSI8dg4DPyMKHniPzmQAjqST32dBo/6pPD+4A+o6f+aTiNbgBcD2omZ16weY2qKJI+ziWX9Ng==[/tex][tex=14.0x1.286]KahNC8iYmf8EAuJsBe2H8aEGvZB2zxAKJbU9NQEboEAWzfx6C0/xYdlJsaYrpjFZ[/tex][tex=14.0x1.286]mzHrWiUF9bwbf9Hkx5opjjiCYLparp8bZWlm/u0QjNH4EZ50UY11VuImTi6YLQL8[/tex]，因而有[tex=17.714x1.286]pDTAZDL+IURPSgzx+9lW+FsMuP1+sovWlE6VMGUmZOGBNaWgw1BRCony3prpM9IhnOeF93ARYdFiopoHzBt5Vw==[/tex]，即[tex=15.571x1.286]TEum4RyF0bdNOrMtcCiQdQf9KpvXFC9C+CUvkURCl+Jz9Wp+iTExNVQk54tvT8/P[/tex]．所以[tex=3.5x1.286]qD2tKD6E+0icAS4VYEF/fA==[/tex]可逆，且[tex=5.214x1.286]OmeCAO6QoUmIR/EnDXK1FJ5FGKysXcNMv/PyefCCYYk=[/tex][tex=9.786x1.286]qkhzGNyInCWKv6XXTspb70PUNi8QTAUU7RCk4ulVPPM=[/tex]．

举一反三

内容

0
设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]，[tex=2.714x1.286]q3kLvZxTTYoikLzPPeM3vA==[/tex]为[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶可逆矩阵，试证：[tex=4.786x1.286]ecvR25VqdNnwqu8xmCau28y+R9nZEB53yIixWyNVd7w=[/tex]为可逆矩阵．
1
证明:(1) 设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex] 为矩阵，则[tex=4.286x1.286]oheUYwhZ0URiNEpsN7L7kA==[/tex]有意义的充分必要条件是[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex] 为同阶矩阵。(2) 对任意 [tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶矩阵[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex] ，都有[tex=6.286x1.286]f9BmKY0KXh740nvID3nNj0fFKPsoX9X3zKZONqYCrR0=[/tex]，其中[tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex]为单位矩阵。
2
设[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]为[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶可逆阵，[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]与[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]均为[tex=2.643x1.286]Pcp8G3f9iSqumpymQTeO6g==[/tex] 矩阵，且[tex=3.643x1.286]XrcOsn8OdNM40eMDpX5MwA==[/tex] 。试证明[tex=5.786x1.286]o11+GJ0mxFu4O3D0lHseCA==[/tex]。
3
设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶正定矩阵，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]是[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶实对称矩阵，证明：存在[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶可逆矩阵[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]，使得[tex=5.357x1.286]K6zxAGBIogIIiD5GFofAx/pmcJwoRykyV8iSjArS8Ys=[/tex]，[tex=4.929x1.286]UzUiBuTu85eC8sat7ufimOL6HcqebYAko5n7tYXBrwA=[/tex]，其中[tex=0.714x1.286]6GaLCkpufqH4y+Zpjb+RIQ==[/tex]为对角矩阵．
4
设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]， [tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]都是[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶实对称矩阵，证明 [tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]与 [tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]相似的充要条件是 [tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]与 [tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]有相同的特征值。