设下面所考虑的函数都是定义在区间[tex=2.571x1.286]QukfWPZLW55gULY3lqNgmg==[/tex]上的，证明：(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数；(2)两个偶函数的乘积是偶函数,两个个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
证(1)设[tex=4.857x1.357]87aEREo3DDSUwY6vDXFiEYR5VLbOPe7NUWoozO2Kmns=[/tex]均为偶函数，则[tex=6.0x1.357]ua6l7EcXKcUhHARhItq6OBKV315YFf2DyMZgdrgiROY=[/tex]，[tex=3.786x1.357]RTzM8FwV1PfIHf0fHyrOvtu0S3vWNfYs1HBmfayO2EM=[/tex][tex=2.214x1.357]9hvqGx9bAPmoCEoszvMpMQ==[/tex]，令[tex=7.929x1.357]XKWryg6Oqu7BZbci4UolmyLS6gP0vW+uBjOgRPo0Pus=[/tex]，于是[tex=11.071x1.357]FuFBrMYX5GcXiLWhEmMQ8g2l3IMh/2TcUpLoBzKj73xBAYWnUyyrT9JzuxHztaKB[/tex][tex=7.929x1.357]yXPIk9t7ntFstrGfS1t1qI7KpegJjV6SAaFI8H5rBFQ=[/tex]，故[tex=2.071x1.286]QnT5Ukq2Ukk4CB2YYrq4eQ==[/tex]为偶函数。设[tex=4.857x1.357]6MCFfvEnIdzYerVXcKPvRZjSOVEvYRlX8nmtVsbN/lc=[/tex]是奇函数，则[tex=6.714x1.357]HKLPfWG/UXDsGzMkm2PeaUDw40fi+oRHATg8dGgqn6o=[/tex]，[tex=6.714x1.357]CPadOOzrkEDFOQIyTyKO4qvJWtIWkNccDeCZXrQRoM4=[/tex]，令[tex=8.071x1.357]ESp1O0G4EOVtr+MI6Ou4OMMLr0msCwhYiC762Ox8ueg=[/tex]，于是[tex=10.429x1.357]85BhFqnWZyrCc7cNIJyrFZYdHjW5V162/W+iJJhlwOM=[/tex][tex=9.643x1.357]LtWD3LMFPg8pg/LEEqHwJsmyPpu3ggfZW0PBs5ofeI8=[/tex]故[tex=2.143x1.357]950eYbgJS8S0Sf0kMhSyTw==[/tex]为奇函数。(2)设[tex=4.857x1.357]87aEREo3DDSUwY6vDXFiEYR5VLbOPe7NUWoozO2Kmns=[/tex]均为偶函数，则[tex=12.357x1.357]ua6l7EcXKcUhHARhItq6ONDnOXkj9t0Faf7fql/14qnNiv7cz1oZ4Tr1qr8fT2F+[/tex]，令[tex=7.929x1.357]XKWryg6Oqu7BZbci4Uolm4m9vvp5yKaVcsBejn/m6vNXf4WIAP6mvAFo17oExvca[/tex]，于是[tex=10.214x1.357]FuFBrMYX5GcXiLWhEmMQ8iV2JsLYQ48R7xYd6Q6FjGtdIPZMKzmTgx0eXTKlJl+K[/tex][tex=7.929x1.357]rbcUpS/vkAfkiX1m/O5oCIYgWWxtcD7xYLRfSfi52BA=[/tex]故[tex=2.071x1.286]QnT5Ukq2Ukk4CB2YYrq4eQ==[/tex]为偶函数。设[tex=4.857x1.357]6MCFfvEnIdzYerVXcKPvRZjSOVEvYRlX8nmtVsbN/lc=[/tex]均为奇函数，则[tex=6.714x1.357]HKLPfWG/UXDsGzMkm2PeaUDw40fi+oRHATg8dGgqn6o=[/tex]，[tex=6.714x1.357]CPadOOzrkEDFOQIyTyKO4qvJWtIWkNccDeCZXrQRoM4=[/tex]，令[tex=8.0x1.357]ESp1O0G4EOVtr+MI6Ou4OJAcVp79L/DCgLeym1O7PcyZWifjFIQgu2JBJRS3eyc8[/tex]，于是[tex=10.357x1.357]85BhFqnWZyrCc7cNIJyrFZWIKMjquCFO8ORaGyFwIzb2sNUM5MtJ0Bue6oD1NlZj[/tex][tex=8.143x1.357]NS2eEy+LZX7tHIhZGav+DzE6O134fraYk4NbgiVwUPWaF1Bb+me3oJ+DD+S6uyZDAYoGoxdVCdFCfCXp0ZS8TQ==[/tex][tex=8.786x1.357]GZrRBZmhYuTBrg79SECYwdb92z2Iv1AcrJF9Wi1dLzWdsW4gkfhsinpcAmtYGFFZ[/tex]故[tex=2.143x1.357]950eYbgJS8S0Sf0kMhSyTw==[/tex]为偶函数。设[tex=1.857x1.357]Fuvm9Mwml7lIOgc0vriwJw==[/tex]为偶函数，[tex=1.857x1.357]onZXu4LK1qWqnNzYw8C+9Q==[/tex]为奇函数，则[tex=5.286x1.357]3G/O/NyqVEBDzDxA3Im4Y2N5/eOk+WtaaX2pXmqnd9k=[/tex]，[tex=6.0x1.357]Knhk9bEq7pIf44rUZ5Ea+n1xKdhipxcSEW5p2zvA9DY=[/tex]，令[tex=7.357x1.357]D4JmfPCfaZceUVFcmnRkeANE8D2axgY8Gy1ODXmrV0c=[/tex]，于是[tex=9.714x1.357]BBmgj4Bgk6hO3Ob3RYmeR7+r6PXBLuWNn0mK8axHlQs=[/tex][tex=5.786x1.357]G0npUQNxOcKLH5q8F2ie+PCLIaSjy5wHzBYJMOachaQ=[/tex][tex=9.714x1.357]HnJ4Kyk1+m0rNfQpM3Gm3fre9m7HrgITVJN/XzXqiYg=[/tex]故[tex=2.214x1.357]4iYAf6uLqI8iKbXFThv9Bw==[/tex]为奇函数。
举一反三
- 设下面所考虑的函数都是定义在区间 [tex=2.571x1.286]XckExRdjqz3iek+HP2/+/g==[/tex] 上的。证明：(1) 两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；(2) 两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
- 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间[tex=2.571x1.286]XckExRdjqz3iek+HP2/+/g==[/tex]上的，证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
- 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间[tex=2.643x1.357]LvZUObITlON7QhCD/zGJEQ==[/tex]上的．证明：(1)两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；(2)两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数；(3)定义在对称区间[tex=2.643x1.357]LvZUObITlON7QhCD/zGJEQ==[/tex]上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和
- 设下面所考虑函数的定义域关于原点对称，证明：（1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数。（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
- 设下面所考虑函数的定义域关于原点对称，证明：（1）两个偶函数的和仍然是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
内容
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设函数都是定义在对称区间(-l, l)上的, 则下列说法正确的是( ) A: 两个偶函数的和是偶函数 B: 两个奇函数的和是奇函数 C: 两个偶函数的乘积是偶函数 D: 两个奇函数的乘积是偶函数 E: 偶函数与奇函数的乘积是奇函数
- 1
设函数是定义在对称区间[tex=2.643x1.357]6gMkjXUNZb5V+/elDc/XlA==[/tex]上，证明：两个偶函数的积是偶函数，两个奇函数的积也是偶函数，偶函数预计函数的积是奇函数 .
- 2
假设所考虑的函数在区间 [tex=3.857x1.357]KXegr4sB6nraOnPZtfptaw==[/tex] 内有定义，证明两个偶函数的积是偶函数，两个奇函数的积是偶函数，偶函数与奇函数的积是奇函数.
- 3
设下面所考虑的函数都是定义在对称区间[tex=2.571x1.286]XckExRdjqz3iek+HP2/+/g==[/tex]上的，证明：两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数。
- 4
设下面所考虑的函数都是定义在区间[tex=2.643x1.357]VB9QsmGqzuw/4BugPs1g7Q==[/tex] 上的，证明: 两个偶函数之积为偶函数 ; 两个奇函数之积为偶函数; 偶函数和奇函数之积为奇函数.[br][/br]