设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个交换环. [tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的一个真理想. 证明: [tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的素理想的充分必要条件是对[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的任意两个理想 [tex=1.786x1.214]zfnjAriwk4zDRDiztBoWLA==[/tex] 如果 [tex=3.286x1.214]WakYuPY5lraLCL6xzgtQ6tcQya91e/cv2CVUFbpGVoc=[/tex]则有 [tex=2.571x1.286]LGLCTnbgycmgJJlIBBE0eQqCR0efKFGn1aLp/jjrUas=[/tex] 或 [tex=2.857x1.143]M59ruS7APbh4P9mt4B91uMZ0KlcTUFvMW0KC1K5cVjk=[/tex]
举一反三
- 设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是交换环,[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的真理想, 证明:[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的素理想[tex=1.0x0.643]bMRrINhuwlMbjrHDeWypogdkWGb3ojVpD4vc6TFnQGs=[/tex]对[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的任意两个理想[tex=1.5x1.214]VxtvWlgGBBypyenN8OD8Wg==[/tex], 若[tex=3.214x1.143]r0gdMMVbhunOvZjSkrcJzIrCJSAJFiKR6HwUg4NdQgA=[/tex], 则[tex=2.429x1.143]CuoaCTRreE/K8xH3y+k5DA==[/tex] 或[tex=2.571x1.143]alHbRNAWdZhUaTe2OV1x1Q==[/tex], 其中[tex=7.143x1.357]/sdFt/Rx0yiw1+5ifdUZZkUer1fPa78enyOW8Wm9MbKrhUZ/lM+r366kqmrC04mP[/tex]
- 设 [tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex] 是交换环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的素理想, [tex=6.214x1.214]ntTGV+INANaOxwQM3oA55Q17TF/s8JHXDq/jIRy9LaY=[/tex]是环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想. 证明: 如果 [tex=4.214x3.286]kOt7ABIjJ1TB/tJHGJrFZ3RHhTajJeIAe0yk9mpbDZA=[/tex] 则存在 [tex=5.429x1.357]3e6KkWeOUjrDinTGUupjNWs3ggxaNu/WfiQzizsuExc=[/tex]使 [tex=2.429x1.214]xWDpNOPectl1eprG8UPAkw==[/tex]
- 证明命题 3. 7.注 命题 3. 7 如下:设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个环,[tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的一个理想.(1)若[tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的一个理想且[tex=2.357x1.143]dFK0pllFt/zWEC+crtFExA==[/tex], 则 [tex=1.5x1.357]DQDKvU4BxJ/UC33T+mY9sw==[/tex] 是[tex=1.714x1.357]ceJTjldMkJXWCHatl5T1Jg==[/tex]的理想;(2)若[tex=0.714x1.0]Hl8mr56J4t0Ek5ZoqbFYYg==[/tex]是[tex=1.714x1.357]sU/Eol/VzF4h4tpIDEJ9Ag==[/tex]的一个理想, 则存在 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想[tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex], 使[tex=2.357x1.143]dFK0pllFt/zWEC+crtFExA==[/tex]且[tex=3.286x1.357]lODhOYSHJTAF/Tk9pX1cLA==[/tex]
- 设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 为环， [tex=1.786x1.214]6tfK8Xu5VII5Cof0ldCDJw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的两个理想，则 [tex=2.071x1.143]FGBbsKfBrmsAUpq686lM7Q==[/tex] 也是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想, 且[tex=13.071x1.571]XuAP5pRnpiOzK6W1JU+4iGIcUJwy+lBPPYAw+otff+OMazqOwTbIAA1mh7Znww+F[/tex]。
- 设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个交换环. [tex=1.5x1.214]VxtvWlgGBBypyenN8OD8Wg==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的两个理想, 且 [tex=2.643x1.143]jZczHAWaUxFVXussUtQMGYnrAWRbjiAANXBvGlu6xz0=[/tex] 证明: 如果 [tex=1.5x1.357]DQDKvU4BxJ/UC33T+mY9sw==[/tex]是 [tex=1.714x1.357]ceJTjldMkJXWCHatl5T1Jg==[/tex] 的素理想, 则 [tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的素理想.