• 2022-06-05
    柯西积分公式
  • 柯西积分公式的基本内容是这样叙述的:  若函数f(z)在简单正向闭曲线C所围成的区域D内解析,在区域D的边界C上连续,Zo是区域D内任意一点,则有  f(Zo)=1/2πi(∮cf(z)/z-Zodz)(不会打符号,请见谅!)  柯西积分公式对于无界区域也成立(图10.9(c)):如果无界区域D(包含∞在内,D的边界是有限条简单闭曲线C,函数在内除了点∞外是解析的,而在闭域(D+C)上除了点∞外连续,同时当z趋于∞时存在limf(z)=f(∞),则对D内任一点z有  f(z)=f(∞)-1/2πi(∮cf(ξ)/ξ-zdξ)  (其中C的方向取负方向)[编辑本段]柯西积分公式的推导  柯西积分公式本身就是柯西积分定理最直接、最重要的推论.利用我们所熟知的柯西积分定理,  其证明过程是很简洁的.在此不再赘述.[编辑本段]柯西积分公式重要推论与应用  柯西积分公式是一把钥匙,他开启了许多方法与定理,以下就是重要的几个例子:平均值定理  如果函数f(z)在圆│ξ-Zo│<R内解析,在闭圆│ξ-Zo│≤R上连续,则f(z)在圆心Zo的值等于它在圆周上的值的算术平均数,也即  f(Zo)=1/2π(∫(上限2π、下限0)f(Zo+Rexp(iφ))dφ)  证明时,只需将Z=Zo+Rexp(iφ))带入即可.(见右图)  此定理对于调和函数的研究、微分方程都有很大作用,在他基础上还有很多推论,例如极值原理等定理.解析函数无穷可微性  一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数,它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示.这一点和实变函数完全不同.一个实变函数在某一区间上可导,它的导数在这区间上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了.  而利用柯西积分公式可以做数学归纳法证明如下定理:解析函数f(z)的导数仍为解析函数,它的n阶导数为:(见右图)  n!/2πi(∮cf(z)/(z-Zo)^(1+n)dz)  由定理可知,由函数在区域D内的解析性,不仅推出其导数的连续性,而且也推出其各阶导数在D内存在且连续.这是解析函数与一元实变量可微函数本质区别.这便是解析函数所具有的极好的性质,也使得人们对它的研究更具意义,让解析函数论能够单独脱离于实函数而充满活力!柯西不等式  其公式如右图所示,它给出了一个很有用的估计导数的方法.Liouville定理  有界整函数必为常数.  利用柳维尔定理可以行反证法简洁证明代数学基本定理:  一元n次方程在复数域内必有解Morera定理  即柯西积分定理的逆定理:  (柯西积分定理: 设C是一条简单闭曲线,函数f(z)在以C为边界的有界区域D内解析,在闭区域D‘上连续,那么有: f(z)对曲线的闭合积分值为零.)  如果函数f(z)在区域D内连续,并且对于D内的任一条简单闭曲线C,我们有∮cf(z)dz=0  那么f(z)在区域D内解析.  他刻画了解析函数的又一种定义.[编辑本段]柯西积分公式推广  设C为任意简单逐段光滑曲线,f(ξ)是在C上有定义的可积函数,则具有如下形式的积分称为柯西型积分:1/2πi(∮cf(ξ)/ξ-zdξ)z不属于C  对于复变函数的研究颇具意义
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    内容

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      由柯西积分公式得,积分[img=67x41]17e4432c103b10d.png[/img]的值为( )。 A: 0 B: 1 C: 2 D: 无解

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      由柯西积分公式得,积分[img=67x41]17e0aed7d934e0e.png[/img]的值为( )。 A: 0 B: 1 C: 2 D: 无解

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      求积分(柯西定理)

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      柯西只对()讨论了定积分

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      不是柯西积分定理条件的为