设 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是有理数域上的矩阵, 其特征多项式的所有不可约因子为 [tex=6.643x1.429]HPgWpEEEIYLZ89dOctpWisJaQIofCmpE/TMfOCKKZGLBxO4Fl8Ih9KFCn4JndPxW[/tex] 又 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的极小多项式是四次多项式, 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 在复数域上相似于对角矩阵.
举一反三
- 一个 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶有理数矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的极小多项式是一个有理数域上的不可约多项式, 问 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的 Jordan 标准型是否必是对角矩阵?[input=type:blank,size:4][/input]
- 求证: 若 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 有 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]个互不相同的特征值, 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的特征多项式 和极小多项式相等.
- 设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是复数域上一个[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶可逆矩阵，证明，[tex=1.714x1.214]w5EFtBL4q9r6pzVY0285fA==[/tex]可以表示成[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的一个复系数多项式。
- 矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的特征多项式和极小多项式重合, 矩阵 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 也具有这个性质, 若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 和 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 的特征多项式相同,问 [tex=1.786x1.214]s/df2ZE+BhF7kkKI1Rb3ww==[/tex] 是否必相似? [input=type:blank,size:4][/input]
- 求证: 若 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 和对角矩阵 [tex=9.286x1.357]4hVOD4TWSI62OX9AhSJlcFT9/s8GpEqLGvCv8s+mV12qyqoqYS5txrxH/yqVh2LI[/tex] (或任意一个主对角元素互不相同的对角矩阵) 乘法可交换, 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 必是对角矩阵; 若进一步 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 还和第一类初等矩阵可交换, 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 必是数量矩阵 [tex=1.429x1.214]FxIjkBm1yL0dMFtX1spLfQ==[/tex] (由此可知, 矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是数量矩阵的充要条件是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 和所有可逆矩阵可交换).