设矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]中有一个[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]阶子式[tex=2.714x1.214]ZggKvnC2hcLU0bE89m++/A==[/tex]，而所有包含[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]的[tex=1.786x1.143]0I+mivUTc61+gHYMZ4P6UA==[/tex]阶子式(如果存在的话) 都等于0，则 [tex=3.571x1.357]uBogzLizl5VttKhdXn7XTw==[/tex]，从而[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]中所有的[tex=1.786x1.143]0I+mivUTc61+gHYMZ4P6UA==[/tex]阶子式全为 0 .

2022-06-07

设矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]中有一个[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]阶子式[tex=2.714x1.214]ZggKvnC2hcLU0bE89m++/A==[/tex]，而所有包含[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]的[tex=1.786x1.143]0I+mivUTc61+gHYMZ4P6UA==[/tex]阶子式(如果存在的话) 都等于0，则 [tex=3.571x1.357]uBogzLizl5VttKhdXn7XTw==[/tex]，从而[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]中所有的[tex=1.786x1.143]0I+mivUTc61+gHYMZ4P6UA==[/tex]阶子式全为 0 .

答案：

证明: 记[tex=9.571x1.357]eF1UdzCyAPNMOakkMWqlyf7bjUFn03iuGLcQg2IOSzz88DpgBT9qgHteEZB+jAngCC5sb1OlsoexHSQBalWHj77uUtpr9UUFJYzohWHHbc8=[/tex]，知[tex=1.0x1.0]uNeXgLsfwRCqSCLKXiHNMw==[/tex]，[tex=1.0x1.0]4DlVWRR99dNcrqkjC48IYg==[/tex]，[tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex]，[tex=1.0x1.0]LGD1bBGHIvsbVFoymn2LXA==[/tex]无关，且[tex=1.0x1.0]uNeXgLsfwRCqSCLKXiHNMw==[/tex]，[tex=1.0x1.0]4DlVWRR99dNcrqkjC48IYg==[/tex]，[tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex]，[tex=1.0x1.0]LGD1bBGHIvsbVFoymn2LXA==[/tex]在[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]中所对应的列向量[tex=0.929x1.429]9YsKuV5i1rJB2tFlPJsCU2fFff0Vq/5gFJISLy1j88M=[/tex]，[tex=1.571x1.357]aetluDc51GDxdrh1HtUPnkAcP8zziQrg06XftSO7yQw=[/tex]，[tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex]，[tex=0.929x1.429]aYQia/r3K2aVq9a3gSc44f4ZRR+oPNTSQfL7kPKvqp0=[/tex] 也无关, 又任意包含[tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]的[tex=1.786x1.143]0I+mivUTc61+gHYMZ4P6UA==[/tex]阶子式为0，则[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]中其余向量均可由[tex=0.929x1.429]9YsKuV5i1rJB2tFlPJsCU2fFff0Vq/5gFJISLy1j88M=[/tex]，[tex=1.571x1.357]aetluDc51GDxdrh1HtUPnkAcP8zziQrg06XftSO7yQw=[/tex]，[tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex]，[tex=0.929x1.429]aYQia/r3K2aVq9a3gSc44f4ZRR+oPNTSQfL7kPKvqp0=[/tex] 线性表示，也即[tex=0.929x1.429]9YsKuV5i1rJB2tFlPJsCU2fFff0Vq/5gFJISLy1j88M=[/tex]，[tex=1.571x1.357]aetluDc51GDxdrh1HtUPnkAcP8zziQrg06XftSO7yQw=[/tex]，[tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex]，[tex=0.929x1.429]aYQia/r3K2aVq9a3gSc44f4ZRR+oPNTSQfL7kPKvqp0=[/tex] 是[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]中列向量组的一个极大无关组，故 [tex=3.571x1.357]mpovkHA9QjKhDk3QZ2Z00g==[/tex]，从而[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]中所有[tex=1.786x1.143]0I+mivUTc61+gHYMZ4P6UA==[/tex]阶子式为 0 .

举一反三

内容

0
设[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]满足[tex=2.714x1.214]rPRBSosCEth94R4jBBpQCQ==[/tex]，则[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的特征值为( ）。未知类型：{'options': ['0', '1', '[tex=1.286x1.143]AcbURnSUksMF5caOSz5CtQ==[/tex]', '0或1'], 'type': 102}
1
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=2.714x1.071]Xa6YzCV9VTlW9p4lLOpktw==[/tex] 阶实矩阵, 则矩阵 [tex=1.786x1.143]HXjkm+iJsYI9mmrX7isP0w==[/tex] 的任一主子式都非负.
2
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是域 [tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex] 上秩为 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 的 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶对称矩阵.1) 证明 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 有非零的 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 级主子式.2 ) 又若 [tex=2.286x1.0]nrDn1K3wfGPS5vJ5c5JkwTpRSi1lFeR+ayR8NA65ddw=[/tex]，则有 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的任何两个非零主子式同号.
3
设 4 阶方阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]满足条件[tex=13.429x1.571]pNXwj7dxoGbcprO3/HATinbMcrt8sC5y1uPd3TRH6ssCiv8WtIXVXb9cSHXuJP20[/tex], 其中[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]为 4 阶单位矩阵，求[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的伴随矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]有一个特征值。
4
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是一个 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶方阵, [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的第 [tex=3.857x1.214]DjCiGMHqs7i43AtzYtScEqSDa5Lj7huZCbFWNAtAodY=[/tex] 行和第 [tex=3.857x1.214]DjCiGMHqs7i43AtzYtScEqSDa5Lj7huZCbFWNAtAodY=[/tex] 列交点上的元素组成的子式称为 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的一个主子式. 若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是对称矩阵或反对称矩阵且秩等于 [tex=0.5x0.786]51EIYuoXo3UTYashe96uEQ==[/tex]，求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 必有一个 [tex=0.5x0.786]51EIYuoXo3UTYashe96uEQ==[/tex] 阶主子式不等于零.