假定我们有一个环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的一个分类,而 [tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]是由所有的类 [tex=5.357x1.357]iJjwcXcFWCLKdVw2xZEPyBwByvhAqMRyVf8sAARTC0I=[/tex]所作成的集合, 又假定[tex=11.0x1.357]XK+o7mA4SVtVCDLuD13a72OjuZqrn6hbxIUlu6OGYTiUH9D1eXip/j5HMz0iyixg[/tex] 规定两个 [tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]的代数运算,证明[tex=1.071x1.357]TuRWrZqJCmula9fCxsCPMA==[/tex]是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的一个理想, 并且给定的类刚好是模[tex=1.071x1.357]TuRWrZqJCmula9fCxsCPMA==[/tex]的[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的剩余类.
举一反三
- 设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是无零因子的环,[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的子环, 且 [tex=3.286x1.357]Pd1PDhcqZGZ+SPuTqEqZBQ==[/tex] 证明: 当 [tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex] 有单位元时, [tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex] 的单位元就是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的单位元.
- 设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个环，并且[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]对于加法来说作成一个循环群，证明[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个交换环。
- 设[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的子环, [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想, 且[tex=2.714x1.143]qeVx/WneqT6AKFTmS1fp3aWUSBO9UpECh2/YR23omjA=[/tex] 证明:(1) [tex=1.571x1.357]Fm8Px+trZ6+uWLyh/NKRGQ==[/tex] 是 [tex=1.714x1.357]ceJTjldMkJXWCHatl5T1Jg==[/tex] 的子环;(2) 如果 [tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想, 则 [tex=1.571x1.357]Fm8Px+trZ6+uWLyh/NKRGQ==[/tex] 是 [tex=1.714x1.357]ceJTjldMkJXWCHatl5T1Jg==[/tex] 的理想. [p=align:center][br][/br]
- 假定 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是模 7 的剩余类环，在 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 里把乘积[tex=13.5x1.571]1mozSZPmTDk0iZAfoGbSXnOelqTN0/dkYhjcU65OdFp1ann7b44m9v7d3WfJanWB51HbTxs3hwJeYJ5JgYjybafXVKfcHeBaMrNZWSFEF0c=[/tex]计算出来.
- 假定 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是模 16 的剩余类环. [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex]的多项式 [tex=1.0x1.214]M3ejp0abpaUbronXuku+CQ==[/tex]在 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]里有多少个根?