解 先在复数域上把 [tex=2.643x1.357]VOyAhzIK3FbK+XQeJXx76Q==[/tex]分解为一次因式的乘积. 方程 [tex=3.929x1.357]P7pqPWxGlYhHyfBjdxBsYg==[/tex]即[tex=2.643x1.214]Dng6N56uOvh80RFkrjCMrQ==[/tex] 的所有的复数根为 [tex=16.357x2.429]dhSnjuamM7e4461FfzCjk2BNwIM0JHAFw8sl+dlUecjZUnU/LowYqznpSIBgB9VanJthOTthq8MKD8WiaQE6D+wMXfCdw+DMXGnZmnCPX/5QKefB3/7vZ3xgqXHmHO1H[/tex] 所有的根 [tex=1.0x1.0]w3zFtztZ+K3suM1D+Vq3yA==[/tex]都是一个根 [tex=2.429x1.0]dFuH9eXfAoxy/PEGB73UINmDTz7eW/y/dQIttePVoWk=[/tex] 的幂:[tex=3.143x1.429]KwCTc7uN/smty1gtK0PLR1bWYr/y/xpO18/U95HAKkI=[/tex]在复数域上 [tex=2.643x1.357]VOyAhzIK3FbK+XQeJXx76Q==[/tex]被分解为 15 个一次因式 [tex=7.929x1.5]uk7Pnnbde/VgDtBH82ALL3enRYd2Zpdj8Hf62rIjTjZFnIcjN6GQUtEG+unqoReJ[/tex]的乘积:[tex=8.357x3.429]RKCzApHhydJ8VLIvAqkEWcrRwGuB03apMsg3xobOmSAQC0UvO2B1gMHvUao1AK1UrTDP56lxn9Jnmn1NGjokbQ==[/tex]我们希望把 15 个根分成若干组，使每组的那些根 [tex=1.071x1.214]b7eY4U49AQ0FhLZEJ22e/A==[/tex]对应的一次因式 [tex=2.357x1.143]XkHC6bRVgiRvAVO4U+2DrQ==[/tex]的乘积是一个有理系数不可约多项式 [tex=2.357x1.357]XC//8A3ztnfjoRBWfXfRFw==[/tex]则[tex=2.643x1.357]VOyAhzIK3FbK+XQeJXx76Q==[/tex] 被分解为这些因式 [tex=2.143x1.357]QbymDkApVHf+fZDou+fHIQ==[/tex]的乘积.   [tex=2.643x1.357]VOyAhzIK3FbK+XQeJXx76Q==[/tex] 的所有的根 [tex=1.071x1.214]b7eY4U49AQ0FhLZEJ22e/A==[/tex]都满足[tex=4.5x1.786]rOxAFWQyzB1pVbbeF4P4MEGF09NHhNglDEC7sqbRfaHXzbfkJLpS/DotV9l9OQxU[/tex]因此存在最小的正整数[tex=2.786x1.143]l0667m/dCFNXplGv41l24w==[/tex]使 [tex=4.5x1.643]gV8lGYJqYiiQ2GI/hXOWXBv6UcbcdWIY1HFnRcwZWTRFDYxGrHm/kNySsuKN1bfO[/tex] 称为 [tex=1.071x1.214]b7eY4U49AQ0FhLZEJ22e/A==[/tex]的 乘法周期 . 由 [tex=13.857x2.429]rOxAFWQyzB1pVbbeF4P4ME7Vy2SqFLzmlf4v2MwNIqW9o/OoG5TYMS3J7vrAz6ZpLc2AE+M/OxBNeLyxJ2plrkJ+70MycNt8CeWFsFCQQQbCaYNjriolXgTVTZE5FSxq[/tex]知 [tex=1.286x2.429]WpZ+3DM6IR1ys1ci4IDRUrhIfqXHNWTjCGLqi4PiMfA=[/tex]应是整数. 将 [tex=1.286x2.429]WpZ+3DM6IR1ys1ci4IDRUrhIfqXHNWTjCGLqi4PiMfA=[/tex]的分子分母同除以 [tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex] 与 15 的最大公约数 [tex=4.357x1.357]FjDEnW61dzwYDM0VN9uxRg==[/tex]得到的 [tex=1.571x2.429]cl8lWuztGg2R/chQeahJ1nQPRI53CoMVGao6CBdXOkI=[/tex]仍为整数，其中[tex=2.643x2.429]S08Mdodi2m2tsvqOAOjL6g6OfU7Ta7KcvyyEz0Nm8f4=[/tex]与 [tex=2.571x2.357]5Arg4GCEz0WefHjnR5y4132ivp/3uPpYFcUPxvO7ujA=[/tex] 互素，因而 [tex=1.929x1.357]l0i0oy5VWJZsiVXbuZWofg==[/tex]满足此条件的最小正整数 [tex=5.571x2.643]i9e5ei2XWoRoIBP8VTRxtb3fz8kr3JA8iFgxOWRYqBs=[/tex] 是 15 的因子，只能取 1,3,5 或 15 .    将 15 个根 [tex=1.071x1.214]b7eY4U49AQ0FhLZEJ22e/A==[/tex] 按乘法周期 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]的 4 个不同值分成 4 组，每组的各个根具有同一个乘法周期[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex], 将这些根对应的各一次因式 [tex=2.429x1.357]KrfiObOBOQq+9OhTasgrYQ==[/tex]的乘积记为 [tex=2.714x1.357]0YHb4EUy/LNzFHtV8tQUTQ==[/tex] 则[tex=2.643x1.357]VOyAhzIK3FbK+XQeJXx76Q==[/tex] 分解为 4 个 [tex=2.429x1.357]5AcheT42gJxaTSHj+MPQ/Q==[/tex]的乘积.   乘法周期 [tex=2.286x1.0]2ZsAFMlYQYZCGMYXikFUIg==[/tex] 只有一个根 [tex=9.643x1.786]rOxAFWQyzB1pVbbeF4P4MGSKzaTrtfFsM4RVDunJ6RDk2u2E11kDEvDRC8/yy+VSobhRoTuludAZ+uHLeVnBgQ==[/tex]  乘法周期[tex=10.857x2.643]qxujO3qpZSGNoTmuZUi5XJhMSZTCqKeZL5RzGJwI2WMc6sD7XVuNRF2JIwrKiVwR[/tex]共有两个根 [tex=5.0x1.5]ay310kLU7FQpJvhqufiPQKBC1yNmUNfXGZLv6REdxJw=[/tex]它们都是 [tex=2.286x1.357]gZrLkFXgBGFqqMk1xjXZmg==[/tex] 的根 但不是 [tex=1.857x1.143]qwC/UisT2YN1keJwcnpw8g==[/tex]的根，因此是 [tex=2.5x2.571]r4Zz88bwJtoZE/+cr0l1KLkH57VMQyBRSVxgrP20LtI=[/tex] 的全部根.[tex=18.643x2.571]sIkp8Vnbr2zRK8L6aDaq6H3fOrakMlGNbPqmP1jWODSwn86ZaRDC5ex/ca+hM2df+ynXBc90xH8hZNcS3JvrEFmRvzJssoR57hQXDG1Erc1KOmT8Gp3E6R7rrSWXvapZIeQ+plo0GLYTR6xPhuBJ3g==[/tex]乘法周期 [tex=10.857x2.643]ncCh7pUgr4bRgpsAaINqLWyUilL4/A8ZjOsSWaIQSkTWRenRsEgYhnhfDsYEBgt4[/tex]共有 4 个根[tex=6.857x1.5]V7OCbJsx5H7banPqtxG5jgEeuPn197ODkM/k0h6dxYs=[/tex] 它们都是 [tex=2.286x1.357]rilKVEUwPIrlSA562yE2Yg==[/tex]的根但不是[tex=1.857x1.143]qwC/UisT2YN1keJwcnpw8g==[/tex]的根，因而[tex=20.0x3.429]aeovEHSYVVsLAL0fgn3ayo5ZUQpDyPIHwii9ZlxpLWF18Edb80otKAX4jQSIAQfByCQNC2Z7MOIJ4fepIwo9MffULF1aJ2ZcIDM0T4NmeYR8+KCSvvRdmESYBb2n/TjJKHG6c2AdfrT+WIgr8qxmPg==[/tex][tex=7.429x1.357]//8Gb1wQ5yiN0p17XbBQv2mjDXKID8U7WnkipFFcB5U=[/tex]共有 8 个根 [tex=12.071x1.5]1P7clI80NbkgHhCdMUpOmz9K4RFnJM6BwamVfVYsWFFXtldnVfjJQD2JhnUFLOME[/tex]它们都是 [tex=2.643x1.357]VOyAhzIK3FbK+XQeJXx76Q==[/tex]的根但不是[tex=7.214x1.429]PJ91piDB4MXAjwJoTXE5H9QlBetiklUwIiQi61tvYl0=[/tex]的根，因此不是[tex=8.214x1.357]P/xhI1Z+LdLK/O3SHAQ1OfnccowDsqTFUHNl04njdoTNdlSHu7TjFlXV2oh7En9S[/tex]的根，因而[tex=25.5x13.714]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[/tex]以上分解式确实是 [tex=2.643x1.357]VOyAhzIK3FbK+XQeJXx76Q==[/tex] 在有理数域上的不可约分解.