设函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在 [tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex] 上连续、可导且 [tex=3.643x1.286]01iTHaAOWrq6T4dbzAxzlg==[/tex]，若存在正常数 [tex=0.571x1.286]pc/qlnA3cxu8Ag9jp3tYHQ==[/tex]，使得 [tex=6.929x1.286]dKfAGo3rU9ALC9dg+OnL06RoMzozmczP4A5vbEP9n1rDfwdNfo7cjpfGNpqPBrTi2q32HcmgeEtqKNvDuhfoXg==[/tex]。 证明：在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]恒等于零。
分析 欲证 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在 [tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上当 [tex=3.643x1.286]01iTHaAOWrq6T4dbzAxzlg==[/tex]时,在题设条件下有[tex=3.714x1.286]bdk1O+10iPWAR25LzAABM4M0oPDrf7rHpG+DMmWfuvM=[/tex]， 可以考虑 任给 [tex=5.5x1.286]YMOcGoO15XUEby5GIP4ODHpvRPawMe6jPM12NTR74GM=[/tex]，证明总有 [tex=7.929x1.286]rlljpUccCcuoaFY9yuBYaBgy/hyb4SyPuVI+5b7nFSySdG//Ne4Hr85g/GFQ65UL[/tex]；或任给 [tex=3.643x1.286]NvSU0Evv5X0Mn23pktkiUm7mnooWj8siWcA9R6/IBpA=[/tex]， 证明总有 [tex=3.929x1.286]nOJBJucVwlQuHq02hM9TshFm+YZTv5ximTg1KFYKyjI=[/tex]。但这两条路都难以实现，可以考虑从导数值与函数值之间的关系 出发，即利用微分中值定理。证法1 若 [tex=2.357x1.286]b9GUEP96aCX9AclOEgSdgg==[/tex]，则可知结论成立。若 [tex=2.357x1.286]a9xCMucObW1FOUJSgznh5w==[/tex]，取[tex=3.0x2.0]hegZ6GHuPtPl/vm4fC4HXJqvJbKnXl6XawBKPBEees8=[/tex]。 将 [tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex] 实行等分割，得 [tex=1.786x1.286]RRxFVbLm2GalDoJ/jtKDiL8lEgAjrLMfo1mFPdnB2zQ=[/tex],[tex=1.786x1.286]hjRVAALz6cPbdC2IwC5ruaMWp630fLsaCpjhY/c7Qwk=[/tex], [tex=1.143x1.286]PZ3wc82RrbgX5KwVcyJcmA==[/tex],[tex=1.857x1.286]teQGGF5AioTDXZZwxy/GdbMnsu032y+gMKN0rEbIntE=[/tex]。令[tex=1.643x1.286]7k4yijNU+RtsEZR7lHc2VP0pYlx0TJpO4rUocBRdpts=[/tex]表示第[tex=0.357x1.286]IAXU2Bqg62H881xvV8eoHw==[/tex]个小区间，也表示第 [tex=0.357x1.286]IAXU2Bqg62H881xvV8eoHw==[/tex]个小区间长度，且 [tex=3.5x1.286]4B1L2V5e2BDz05WY37o8cOSxBZpOaeR3j5r2BsvEOiM=[/tex]，对于任意[tex=3.5x1.286]ryPTnDYMJJ0PEzErO1+nye2c9SOliETjWuy7kIPDhdA=[/tex]， 有[tex=17.643x1.286]BuVsE9tcW/KkkQXGLjesqz/j8oAEIQN7FJINVIi9tmbpIlcwSDhZz5kkCjaSAQ1noYDYeSkcet62CWKp478vbA==[/tex]，[tex=17.5x1.286]rk8wY0y8tR9x/5JDh2XZtjv7NtY4SXS/CBI3gCuUfMAsV0sjUhBF5unQ8HUMk7R56tJxJ8m8XBNnt5gIeM++eRIHVDJ7Uv+m8LuzABarGjk4q7KPnFPvDIF91+pdW3+YvhIrlcW5sczjtt2ecJPC9/KuMIknsPzV+zW5q4HJk5EQqtRAnD3LUFpbnmSvEQS8[/tex]（1）若令[tex=7.286x1.643]AEJSI06ZG/YI3yw9kgv8yQdnkoCYFfJCtHT8GSwnb0rA35p7Qi58jVuZLyLOK8OJ[/tex]，则由式 (1) 可得知[tex=7.286x2.429]cYfXyzHArC9ui5pCQI+FQuUNsJUnpd/+/qzdc8ZF5ndIZltVtsyH11a5ld5FetoR[/tex]。由于 [tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex] 的任意性，可知有[tex=3.571x2.0]EjUCSEKFLO9LKvrpzfpE5PQMvDmorrLO3wmkpeYPfkc=[/tex]， 从而 [tex=2.857x1.286]NsdAKfUlQ4BF7hgMCUsrZw==[/tex]，于是 [tex=3.714x1.286]bdk1O+10iPWAR25LzAABM4M0oPDrf7rHpG+DMmWfuvM=[/tex], [tex=3.5x1.286]ryPTnDYMJJ0PEzErO1+nye2c9SOliETjWuy7kIPDhdA=[/tex]，同样延拓到 [tex=1.643x1.286]7k4yijNU+RtsEZR7lHc2VP0pYlx0TJpO4rUocBRdpts=[/tex]，总有[tex=3.714x1.286]bdk1O+10iPWAR25LzAABM4M0oPDrf7rHpG+DMmWfuvM=[/tex]， 故在 [tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex] 上总有[tex=3.714x1.286]bdk1O+10iPWAR25LzAABM4M0oPDrf7rHpG+DMmWfuvM=[/tex]。证法 2 由于[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]为 [tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上连续函数, 因此[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上为有界函数，可知存在 [tex=2.857x1.286]2FLp3BT0r9G9oTjg4D2WSg==[/tex]，使得[tex=4.786x1.286]rk8wY0y8tR9x/5JDh2XZtlyQgd1orrvEJeM5djsscmw=[/tex]。由于[tex=7.5x2.643]cSLIBokTuU6OfUR6uQRJv3thdZePyLz7h5dAOQqxllrbrTg2dHdHto6VEoqU5ez81tEqL79TNzzXcfcJcYJRqw==[/tex]，[tex=8.786x2.643]rk8wY0y8tR9x/5JDh2XZtrW9z11yURlvimDjEVnTYm+0AWSKWTUtQ9nh1ExWq0mB9+Q/LiLO8oXeNGb6nGa3gGeeuKjB7gOpnOAF4uYv3qI=[/tex][tex=11.357x2.643]8KUH+IFtPNflLBSZeCrPV5rDe29ONq0M3UH/3mIbX278WIBlUNinBGkLLjmhuFJ80Fh+8bsFngGKm8YVgAiibgzGCoZJIKF8eEn02ZE7HJQ=[/tex]。再代入 [tex=8.786x2.643]rk8wY0y8tR9x/5JDh2XZtt9iJycEyTSCHWhAPxFUeC4drB4GqwvMkDztIjA58dr3xaQLSnChHkw0OxHR1Fq5kQ==[/tex]， 可得[tex=10.786x2.143]rk8wY0y8tR9x/5JDh2XZtppyG4BObfNu4Hz5vlV7QOCFHp1Hk3aXrqvJ9KL5vNvT+fj7g8uNaPy2Mx8Ct2M+Tg==[/tex]。如此迭代,可得[tex=10.286x2.0]rk8wY0y8tR9x/5JDh2XZtmqLBax+WuPZigKSlMlePvMobtI2Dkl0hWLEv2k010QymDHEMiTVQ8Z4PNq0O2CKZQ==[/tex]。上式右端当[tex=3.071x1.286]p1DG6mX8msE3sGnMEAQzJ1M93Xzp/+HYTloojm6Fzfg=[/tex]时，极限为零，由夹逼准则及[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]的任意性可知，[tex=3.714x1.357]QsoQGG2UOs3shx6vx5E/WrYmE5RAQ/CWIejYyh8E4rc=[/tex]。
举一反三
- 设有下列4个条件:(1)[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上连续.(2)[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上有界.(3)[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上可导. (4)[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上可积. 则这4个条件之间的正确关系是 未知类型：{'options': ['[tex=5.214x1.286]otUBslvC+g9E/+QRN3FPcz3QWAnX57gbwSFiq/83tZrJDCQDXng89PvbVLa0ErH1[/tex][tex=3.929x1.286]tD4aFAoM85LoQt+qBgIMMo1Mlcypda8ZwrSysyWdmUM=[/tex]', '[tex=5.214x1.286]otUBslvC+g9E/+QRN3FPc+FFFKMJscOGEYnfyfqpT38HisBD+YsE9Wm8vKAwGBZU[/tex][tex=3.929x1.286]i1AFd+ysL/BK+chgAtWII4EOHwT9ui5FjdIGbZfMEVY=[/tex]', '[tex=5.214x1.286]otUBslvC+g9E/+QRN3FPc63PLXQBY+RInk3VeIGVKAUTVTu9w4rFocSKUD2aYvIJ[/tex][tex=3.929x1.286]tD4aFAoM85LoQt+qBgIMMg94hhXOci2B7g9Vu4mm3UA=[/tex]', '[tex=5.214x1.286]4/5aoaEuruE0zuHBY80AilsCo+Vn8cII8nbhXUGzLxvxZe8HtwdnL7T48PRQeC9D[/tex][tex=3.929x1.286]i1AFd+ysL/BK+chgAtWII4EOHwT9ui5FjdIGbZfMEVY=[/tex]'], 'type': 102}
- 函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上有界是[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上可积的[input=type:blank,size:4][/input]条件，而 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上连续是[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上可积的[input=type:blank,size:4][/input]条件。
- 设 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex] 在 [tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex] 上可微. 若 [tex=3.929x1.286]nOJBJucVwlQuHq02hM9TshFm+YZTv5ximTg1KFYKyjI=[/tex], [tex=1.214x1.286]PKqH/cEhuiXr8VrM8vIe7g==[/tex]. [tex=3.643x1.286]NvSU0Evv5X0Mn23pktkiUm7mnooWj8siWcA9R6/IBpA=[/tex], 试证明 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex] 在 [tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex] 上是一个常数 (函数).
- 设函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex] 在 [tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上满足：① [tex=6.714x1.286]e2rQdJIDX6m4QJxK4bB8yA2e0ZugzW2OtDjTuouKEaU=[/tex]②[tex=12.429x1.286]YRReUQzIsdcIgxj5peM19Kfb4jw0lixKCGgUkf/fs+GshtUc0y8OCegOu5F0ObQbIiS2xR3cGUFzKNPhY10flg==[/tex]，其中[tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex] 为任意一个函数。证明：[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在 [tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上恒等于零。
- 设[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]及[tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上，连续，证明：若在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上，[tex=5.0x1.286]zycBmTMe9WXb375REGHTEnjICpL0Gv7CUsFAZVzrrCo=[/tex]，且[tex=10.214x2.5]8QU3aWoJhSGnV7gONGqJzQ545CAfvdbbfaxiGOYcYsvk2BCR7j7f5g6fQBXR0qwrg+I6OAsdWJ6WzWAfl2dVJw==[/tex]，则在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上，[tex=5.0x1.286]FNjtr3tO46uu1qzDBTrGCXjzpRk8TUvhhmq5U8reMb0=[/tex]。
内容
- 0
设[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上连续，且严格单调增加，证明：[tex=14.5x2.5]8RYcrCYxp7svkXnKXVJu/HSo35sBNg519xNXyAQ5O9thcWtR9BRYYKckg6eGaxfNS2ieRXM1lzKiKmnUJTKvvA==[/tex]。
- 1
设[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex] 为连续函数，若对任意区间 [tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex] 都有[tex=6.0x2.857]8QU3aWoJhSGnV7gONGqJzSghLQ+KEInuY2K6MnVJ+WkTgRmEATOQpVk6H6uPhJYk[/tex]。 证明 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex] 恒等于零。
- 2
设函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上连续, 且满足 [tex=6.714x1.286]e2rQdJIDX6m4QJxK4bB8yA2e0ZugzW2OtDjTuouKEaU=[/tex]， [tex=2.357x1.286]cM9+68aDH9w9rd1A9Ckb6s4xLyBOG4xfMFFReFJUqIs=[/tex], [tex=2.286x1.286]LigwaoScOaIzMcYnxLOdp09Qt7W6Ohf+ldE+5hA59n4=[/tex]存在, [tex=7.214x1.286]cM9+68aDH9w9rd1A9Ckb6iSFef6QfFv9b7oZeyHxz4iAYy0tgB3ETWa8Wg2Ig1QopSteuM3xBbkT4rzd1hgtSw==[/tex]，证明：[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex] 在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内存在零点。
- 3
设函数[tex=9.429x1.286]60ZZrqZxR6FjwIEDJkkN8GZzuRA9Db9FoIYXt88y0rQ=[/tex]，问常数[tex=2.286x1.286]bgRCqFDh7Qlm+Jdlv7ZhhQ==[/tex]满足什么样的关系时，（1）[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]没有极值；（2）[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]可能只有一个极值；（3）[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]可能只有两个极值。
- 4
假设[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上连续，求[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]的零次最佳一致逼近多项式。