证明方阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 有零特征值当且仅当[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为不可逆矩阵.

2022-05-26

证明方阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 有零特征值当且仅当[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为不可逆矩阵.

答案：

证 [tex=8.214x3.286]SwpYgoMIUzY/H7GRUu7VR//GbBm7mH6788ZTqUKU2wyN28Txp7wEo6k8SJQ+0vNbLbP+m4N/LlXlHimI/9D+E8VHX96vBc4ehDMDGMuYxbQ=[/tex] 至少有一个 [tex=2.143x1.214]m8B/901gPfjxF6yyKHcL4wuBQLD41+p4RdoAptva7PQ=[/tex].注 也可以这样证明 : [tex=1.929x1.0]tv0/A0DlvArlnDLq6FCi6g==[/tex]是[tex=0.929x1.0]zkuxy59wnc0FrSuUc1OFF6pw7am5S+IP5AAfiovVsGI=[/tex]的特征值当且仅当存在[tex=2.571x1.214]g5Ovh4DDUyMyhyycrequ3NPMW15UrhBezAIfG92EJAeWUJHmw6RYiKmK2REUJBMT[/tex]使得 [tex=4.714x1.214]s5ChnUJhIxqFSdXmAN58D6DLGd/VlAidS4H7COLw3lAtLj8QQ5dE3CxtukjY1MEgcjvDzOzkxsDemoOkYGvyZg==[/tex].这等价于齐次线性方程组[tex=2.929x1.0]ACWp0KPpRBHNCivzFixA4wkDu1AICzcY4p40XJYFKfY=[/tex]有非零解,也就是说[tex=0.286x1.357]oIIoMmeRdfzdGog2psovYw==[/tex][tex=4.357x1.357]s5ChnUJhIxqFSdXmAN58DwqwwqDawjCKJNDcXzv3Re6WQyDYWX5OfcWCEqbfvotD[/tex]为不可逆矩阵.也可以这样证明: [tex=1.929x1.0]N39tL7NRAPURknGSdWz0Yg==[/tex]为[tex=0.929x1.0]zkuxy59wnc0FrSuUc1OFF6pw7am5S+IP5AAfiovVsGI=[/tex]的特征值当且仅当[tex=8.5x1.357]g3YeOSOZvD7D5IDAGTyZRBmCBMVkyrV94Ia1jW7m4j7PQ7YOkEg2SanpJFgFhC41dyuXDaasZI6eMzLD5AxGabgsYzbsKaP/RL4mjzDgfzg=[/tex],即 [tex=2.714x1.357]MzmmROCjjtWxSw9nY2Sa7Fd8WVKWStKtuc3hOQ6HOus=[/tex].

举一反三

内容

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设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是非零实矩阵且 [tex=3.214x1.143]3Lin3tdT+HUs7BTCZtEWLT3+0FWhe8HAiWboANgqVj4=[/tex] 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是可逆矩阵.
1
设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为实对称矩阵, 证明: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]正定 (半正定) 的充分必要条件是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的特征值全大于 (大于等于)零.
2
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是可逆阵. 证明:[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的特征值一定不为 0
3
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实方阵, 已知 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的特征值全是实数且 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的一阶主子式之和与二阶主子式之和都等于零. 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是幂零矩阵.
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证明若矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]有全零行(全零列)，那么矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]一定不可逆.