设在非空集合[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]中定义了加法与乘法两种运算且1）[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]对加法为群；2）[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]对乘法为幺半群；3）加法与乘法间有分配律，证明[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]为幺环。

2022-05-27

设在非空集合[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]中定义了加法与乘法两种运算且1）[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]对加法为群；2）[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]对乘法为幺半群；3）加法与乘法间有分配律，证明[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]为幺环。

答案：

证明：以[tex=0.5x1.286]XgTIkslIRkUR8ajnRk2deg==[/tex]，[tex=0.5x1.286]7rcVY9u25Rg5EdwYVzpzgg==[/tex]分别表示加法群[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]，幺半群[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]的幺元；[tex=2.5x1.286]VhDY6jfl2Mn3UDfrOC2Dow==[/tex]，[tex=0.571x1.286]mRKL/orzOudCEARA8qn3Kw==[/tex]作为加法群[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]的逆元记为[tex=1.286x1.286]ApyMcoQvaEIQq0AOg094NQ==[/tex]，欲证[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]为环，只要证明[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]对加法是[tex=2.0x1.0]D410Ra7tSYZfMF6ZtYg2KA==[/tex]群，即加法是交换的。首先，对于[tex=2.857x1.214]NA8Q8F11StPdkIzzu8pTNQ==[/tex]，由[tex=8.357x1.357]Q4vqDGNGA7vyHQfZ5a+Za6ZBt7NKx1AmMPC8ZJTpdgk=[/tex]，[tex=9.357x1.357]LdUlxRKbs/YZG04PTcm+6QWBK6bSflhTPPaKpFcH7DM=[/tex]，知[tex=4.143x1.0]z1psVki6uVUTC4glYK8JHQ==[/tex]。其次，由[tex=16.071x1.357]VvVUa3IL4niR9mXjqHO47p1d55UTaP5cBzFj8oEIS43yYfNmBt9kFHwTyExbmgdN[/tex]，知[tex=8.071x1.357]D0+oAoClXSM7cbi8h7EJQO5sMpsOGWsYsPd95qvxjvA=[/tex]，最后，由[tex=25.0x1.357]MfshE4yDqjlA64BJIKVLBM+QERFMx7PQ0GDzIb+WwzqupJw6raqgOAgH3iUwuOD14ehV4ddWv+QWb4kMvt5xbA==[/tex]，知[tex=4.286x1.143]EIqXwanP/NqWEmkopTmZQA==[/tex]，因而[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]为环。

举一反三

内容

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设[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]，[tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex]都是幺环，[tex=0.786x1.143]Fx9OZJkFOsEKWqHq2ldQJA==[/tex]，[tex=0.5x1.0]oYgVDn+QZqcDCRxqEZwM2A==[/tex]分别为[tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex]与[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]的幺元，映射[tex=3.714x1.214]CvfCeDGXNyepssyzmki33HDVaWzCx2JS9WFNkB4Qk6Y=[/tex]是同态且[tex=3.643x1.429]yf5JDaNkdR3YDbV38a/wgh9R0HFW/7T44NIbm+zVfHU=[/tex]，又设[tex=1.0x1.0]/4LSvKfNeQWJ+IvWbbbjdA==[/tex]是一个[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]模，证明：[tex=2.857x1.143]ioqC9rRqzIAxmZ0sUU0HEQ==[/tex]到[tex=1.0x1.0]/4LSvKfNeQWJ+IvWbbbjdA==[/tex]映射[tex=6.0x1.357]0z0Id8cj43tSuGKa24+46oPjniVcoD2tN5HAEnuqk24=[/tex]，[tex=2.357x1.286]NxjaiHDMvwiWn79bA8lJJQ==[/tex]，[tex=2.857x1.286]rMPwe7sc/P6V7JoJW2PjKw==[/tex]使[tex=1.0x1.0]/4LSvKfNeQWJ+IvWbbbjdA==[/tex]成为[tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex]模。
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设[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]是幺环，[tex=1.071x1.286]/vZEgalrrOYkhzS9SMg+fg==[/tex]是一个[tex=1.929x1.286]SCa3vd/F3kUh+f+Liod5mQ==[/tex]群，假设存在[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]到[tex=2.929x1.286]rlxkJGoPslFJ/uhqxQOWxw==[/tex]的同态[tex=0.643x1.0]hK6dRoCn+OGpoJ7dSqNW4g==[/tex]，使[tex=4.214x1.357]WwfY4L+8tjxPUhvkdNLHFUOn0GmSE+0aGUorm6GQJJk=[/tex]，证明[tex=3.0x1.143]fAQasrARjAcvlz/j3pkFNA==[/tex]到[tex=1.071x1.286]/vZEgalrrOYkhzS9SMg+fg==[/tex]的映射[tex=8.071x1.357]EXHr1OF1FxXtDPHrtiy16NbEcQIiP4ajcpmLKKySJ2ZiX6Q4A1s2LndEd4+aVa8j[/tex]，[tex=2.0x1.071]uIrQpyHDCcqFaqZZEmU59g==[/tex]，[tex=2.214x1.071]FkAhmzF0HveZn4Av+O0d2w==[/tex]使[tex=1.071x1.286]/vZEgalrrOYkhzS9SMg+fg==[/tex]成为左[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]模。
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判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域, 如果不构成, 说明理由. (1) A = { a+bi | a,b∈Q }, 其中i2= -1, 运算为复数加法和乘法。 (2) A={ 2z+1 | z∈Z}, 运算为实数加法和乘法。 (3) A={ 2z | z∈Z}, 运算为实数加法和乘法。 (4) A={ x | x≥0∧x∈Z}, 运算为实数加法和乘法。
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判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域, 如果不构成, 说明理由. (1) A = { a+bi | a,b∈Q }, 其中i2= -1, 运算为复数加法和乘法。 (2) A={ 2z+1 | z∈Z}, 运算为实数加法和乘法。 (3) A={ 2z | z∈Z}, 运算为实数加法和乘法。 (4) A={ x | x≥0∧x∈Z}, 运算为实数加法和乘法。
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设关系 [tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex] 和 [tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex] 的元组个数分别为 100 和 300 , 关系 [tex=0.714x1.286]atrPPistVyxj7cY8rjePCQ==[/tex] 是 [tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex] 与 [tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex] 的笛卡尔积,则 [tex=0.714x1.286]atrPPistVyxj7cY8rjePCQ==[/tex]的元组个数是 A: 400 B: 10000 C: 30000 D: 90000