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  • 2022-05-27
    设[tex=8.214x1.357]a5rpdwstWpaWxpuqSBnfP5gD19dVn4+wo6RR+XwoA998w/rlSLlM34S4qBIYXX+Z[/tex]，则[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]关于数的加法[tex=0.786x1.071]sISe4zlsm5XRzMPtQa+aFQ==[/tex]和数的乘法[tex=0.286x0.786]RDO/WjWs7bRK6vMLbDizgA==[/tex]构成除环，该环称为高斯数环。
    • 证：显然，[tex=2.643x1.357]M7WjnOu8mWYzXygzR/I9xA==[/tex]是阿贝尔群，[tex=2.143x1.357]5m63mDLYYvIyYRIkAymV+g==[/tex]是半群，由于数的乘法[tex=0.286x0.786]RDO/WjWs7bRK6vMLbDizgA==[/tex]运算对数的加法[tex=0.786x1.071]sISe4zlsm5XRzMPtQa+aFQ==[/tex]运算可分配，于是[tex=3.5x1.357]PHhZEiYbffZQ4ocJzISwJQ==[/tex]是环，其乘法幺元为1。对于任意[tex=5.286x1.214]hoUQNiga0HLNS2n4wDVAgKf72v+1VKWy3kEDBPc0/0E=[/tex]，[tex=2.786x1.214]kG3uIirwO5UJKzwCzl/NEDkXu+jycOTJ3ZPFS2bY8GE=[/tex]，则[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]和[tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex]不全为[tex=0.5x1.0]XY6YYp8hrFkvsD3cyFa49A==[/tex]，即[tex=4.357x1.429]PMj9CUdePXoWKrTj24wcLMVL5K07r8C/aYtdaGXHrRc=[/tex] 。由于[tex=12.071x1.571]mp7L/9eFWJFj+366VQsY+r07TaRbCDjPj9wMcRAdic8WgInzc7y5fFSyhZk4HqKxnl6hDoXQMLAeymdLWHGe2f/0JXhwapLrt0mpD3aXZlY=[/tex]且[tex=16.286x1.571]FMTgWLsUjoW6836Ax/GIgecyTQCvEZVsQ0f2MkY/oUPreCLPYFwRWRtS8wnSCSg6r880S5rsrobtA2pl1cGwtKTWHKob5Qp1fAoGNEPp1cZyiGl9va1W+ZkWdls7WfQK[/tex]即[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中任意非零元素关于乘法运算均有逆元，于是，[tex=3.5x1.357]PHhZEiYbffZQ4ocJzISwJQ==[/tex]是除环。
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    举一反三

    内容

    • 0

      整数集合[tex=0.714x1.0]oaXPjenEQATpEhakjoja5g==[/tex]关于数的加法“[tex=0.786x1.071]sISe4zlsm5XRzMPtQa+aFQ==[/tex]”和数的乘法“[tex=0.357x0.786]3stqUD60J3TENUtnNSZsDFQMqfP8url0oAjL7awVSBI=[/tex] ”构成的代数结构[tex=3.143x1.357]pD3PpswAhRNw2TGVbYQlxAUZqNaXykHb4M9p5Q4rjvZkJggfPFHHAHvNsaPSg0py[/tex]是(     )。 A: 域 B: 域和整环 C: 整环 D: 有零因子环

    • 1

      设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元的环. 证明: 环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的可逆元全体 [tex=2.286x1.357]VSrq2EBbjY/lzOCsf2jcIg==[/tex] 关于环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的乘法构成群. 

    • 2

      设[tex=12.214x1.571]f+9LX3tLaSP/AAglco38tjTH0nr0wZs65h+IjNs9PWWLMAdLSSvncHN9mhDB6LWE+nML+iGW8MYFmagV+a1xrw==[/tex]证明[tex=1.357x1.0]ZV6ylWp4LDR9OimVa9Iisw==[/tex]关于复数加法和乘法构成环,称为高斯整数环.

    • 3

      设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是有限环, 假设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]没有零因子, 证明: [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是除环. 

    • 4

      设环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 对加法作成一个循环群，证明 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是交换环。