设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵且其极小多项式的次数等于 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] . 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的 Jordan 标准型中各个 Jordan 块的主对角线上元素互不相同.

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2022-07-24

设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵且其极小多项式的次数等于 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] . 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的 Jordan 标准型中各个 Jordan 块的主对角线上元素互不相同.

答案：

证明 这时 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 只有一个非常数不变因子, 即它的极小多项式, 设其为[tex=15.357x1.5]Vuia2PLe/nH4Uvdsekkra/qJ2233hwizo9a58jKQtRXX69khSEvDcaPHrgG8ZKIoJACUo2Zwh19Z0sLlwnLLW761IOUkOdwBeMJ55Dz0Qa5E1csTcjEjIaDqMWCgeCs3[/tex]在复数域中将 [tex=1.857x1.357]UwlvD8j/JX8OAqvb+t9xUQ==[/tex] 分解为互不相同的一次因子幂之积:[tex=16.214x1.571]Vuia2PLe/nH4UvdsekkrazkZrrKLqCni/qX3wN4/TItfwpG3h27Gq7wIqVv4KSaZGuQGln8ZOgJQi+N9D62RjajZ2YOasNgw55i6v1kIEc8fuHMmrQaGExoxtRSKe578nb8fIWeKeFcA7ROXC9nUt6aitFnogWI20w5tdkS0oOU=[/tex]于是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的初等因子为[tex=15.071x1.571]sUx8Ay2hegeQlGhEdkp/YXPka+bygLLM4NmTnUfwpSoBdWmFXn5c8fJkSsLv5J858jh1iGb6y/T9I3d3jt+MUvvU2jyLDzTvp2+gPYH+U15wiGMND3lwJbPf71rGuAJyHMFiAvU1rcZWznYttvm0kzlpXd/sMyNtwMc1tXXoXMk=[/tex]A 有 [tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex] 个 Jordan 块, 每块主对角线上元素互不相同.

举一反三

内容

0
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶正定实对称阵, 求证:[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 中绝对值最大的元素只在 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的主对角线上.
1
设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶上三角矩阵且主对角线上元素全为零, 求证: [tex=3.071x1.0]FXk188Kdq3Sv+2OE2EhowQ==[/tex]
2
设 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的主对角线上的元素全是 1, 且 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的特征值全是非负实数, 求证: [tex=2.643x1.357]ZWCD8ooB3vicvnvzu2ZBzA==[/tex]
3
设 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是有理数域上的矩阵, 其特征多项式的所有不可约因子为 [tex=6.643x1.429]HPgWpEEEIYLZ89dOctpWisJaQIofCmpE/TMfOCKKZGLBxO4Fl8Ih9KFCn4JndPxW[/tex] 又 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的极小多项式是四次多项式, 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 在复数域上相似于对角矩阵.
4
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶正定实对称阵, 求证:[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的所有主子式全大于零, 特别, [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的主对角线上的元素全大于零