若[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶对角阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的主对角线元素互不相同，试证与[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]可交换的矩阵必是对角阵.

2022-06-29

若[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶对角阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的主对角线元素互不相同，试证与[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]可交换的矩阵必是对角阵.

答案：

证明：由题知[tex=8.857x5.286]SG13E7iu2HdaLVWfWJMdajhP6qlE5yCHcDzUgQpMI5TDa19NM5v6E+5Lta3/MFu3QZfI9/dKwEZUjw6r3clyNHyG1XrlUykapFtv4WvkMdE=[/tex]，[tex=9.214x1.214]0+BhYnPUD4NIJ0YdeXcCWCH2WetG7ZtmudNY6bUot33HziFVs/sErajzhjoWkhyp[/tex]。若有矩阵[tex=4.714x1.429]eqs+bPhtmKvFdzncAaqY+ag6bjBylpT5dxz19JaA4Je3msQ9ITnPSLwgdK0CpVBY[/tex]与[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]可交换，则[tex=15.929x5.357]p34C/63F3ysiKDCR5kQhKlbGx10PaRTAB9wa/bhxCPabBo7I33j/B1sAqJYbZJKMb6a/e1It++4TW5lnnOrsHstFaos09EaIg/6aA+PcFfgKJkZBcE2SFlV5w++0hmOknP3jIThmbPdCZjhDBFQ96omvyladBIOr3x7x/nWAtU2X027hHX0qGAEZkwmGuZIMd8foILCwY0X5lDeqTACBZ28JR7iWCyEIH8VCRHtEQ2E8znabJhVhjDRrx2hmwWrSR7p14FaCm1cAAQPgwURvpYDKWuWWl599tSKAXUSz7FeOE+ifkqT9kFMtWXRfbPyHixHo3yJD+zcu4EBw4Eov0w==[/tex]，[tex=15.857x5.357]fd/c9w+454hMAfRHvMxyFQQjmPRg0QxVS+bIgqKmPnupIPPHIBJk71dbm3jDtQR8BP+khus5UQ+Ao1cRMq62TVTK85Sl2gjeJ7urpE5rq46BchqZxl19ZSW2Qpq5ET8Nsvm3ibaOq2n4l2BB3LiwmXH8zLH+G44Uo59YqqOHrxpOeFIabwd48H6OE7hFQ9w1MXw3GHszGCQOpN6dHke9olXfCgVOoKunXbUnPlKgWRb2V+SK2ydSApPLa+0/kR4A0vJsqOD37an5tZEoO8JZU12TXH+/+O1Kin8Vd7R661qFR5VayqSs26hCly90+9Xw39T0QUy5cWATEFLwhp/aGg==[/tex]，[tex=3.857x1.0]ooePFz0xjtusf6vpqQWa8A==[/tex]，则[tex=6.929x5.214]7EJHVCtO2IWq3KpdB+jQskDtnrshIfX6ycLs2fy1q1/nopQzjW+s0rl6IiGYobyV+lD5FNAGnH240cyGIGuq4PJarr2+zAeqr2F9hyGqNRwLqR/o5I+sFhl1PinS2+IuAyC02cf31qktz338FLLTxSMqhL0uhCJmayyEGDkPXLARl20AndJWLgN5+QFo1YN8WmdnwwaVjEwW6gH1u3XkcA==[/tex]，又[tex=0.786x1.214]enEQRJyAJ+cuWGjCFP66cQ==[/tex]互不相等，[tex=3.286x1.214]6K0MQDdMKDZHqbcPLwCeUIjW18iE5oU3nR17RZ1w+o4=[/tex]，[tex=6.0x1.357]MOkpLDOyTrtc+Y20Yyy9NPC5/TQlrYaJflgvEfpWJ3Y=[/tex]。因此除了对角线外，[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]中的元素均为[tex=0.5x1.0]XY6YYp8hrFkvsD3cyFa49A==[/tex]。[tex=0.714x1.0]tvtB8rr3T9sn7Q/YdDnRow==[/tex]与[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]可交换的矩阵必是对角阵。

举一反三

内容

0
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵且其极小多项式的次数等于 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] . 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的 Jordan 标准型中各个 Jordan 块的主对角线上元素互不相同.
1
矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是上三角矩阵且主对角线上的元素全相同, 除主对角线上的元素外, [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 至少还有一个元素非零, 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的 Jordan 标准型必不是对角阵.
2
证明 : 矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 与所有 [tex=0.714x0.786]6aVdGcNDEBq8XNsxxe6TUKJi2/iXUJ0aYNv4lG2aSNE=[/tex] 阶对角矩阵可交换的充分必要条件是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为 [tex=0.714x0.786]6aVdGcNDEBq8XNsxxe6TUKJi2/iXUJ0aYNv4lG2aSNE=[/tex] 阶对角矩阵.
3
当 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 适合条件 ( ) 时，它必相似于对角阵. 未知类型：{'options': ['[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0有\xa0[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]\xa0个不同的特征向富', '[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0是上二角矩阵', '[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0有\xa0[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]\xa0个不同的特征值', '[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0是可逆矩阵'], 'type': 102}
4
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵, [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 适合下列条件 ( ) 时, [tex=2.429x1.214]w0DJAkqgaLBmdaL0DbtIKg==[/tex] 必是可逆矩阵. 未知类型：{'options': ['[tex=2.643x1.0]T6KgxyahhCNAGhkx/jtGQw==[/tex]', '[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是可逆矩阵', '[tex=2.643x1.357]ynAnlsS4a0FhNAU9AfGT6A==[/tex]', '[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的主对角线上元素全为零'], 'type': 102}