若[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵，当有一个常数项不为 0 的多项式[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]使[tex=3.357x1.357]JMHm7o/8x5x9TCrU9tmYSQ==[/tex]时，[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的特征值一定全不为0。

2022-07-24

若[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵，当有一个常数项不为 0 的多项式[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]使[tex=3.357x1.357]JMHm7o/8x5x9TCrU9tmYSQ==[/tex]时，[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的特征值一定全不为0。

答案：

证 设[tex=11.286x1.357]KUS1xNkDNd23INc/ZnK4Pn+tgCH/TH4kFxC+dmAJnFbKMHzL6ACrc2htTzn+YBBD[/tex]，[br][/br]其中[tex=2.714x1.214]tWOPDtU+Jk7qiO3ba7VMtA==[/tex]，使[tex=13.571x1.357]TzcbLxlny+nyNjpmobaXjuuRVzJZSasOeu8yQG/k7AwTX9mWRXxYHsIAMr5cu79u[/tex]，由上式知[tex=18.429x1.571]DdpqorbiduSX6+6Ty55ixGPlE7B1Ot/NN4dKgqAuIyzHpTK6oL/IIoDALBpZC2eOPVnhTegPLDNFPgumZD0AmfCvPCPJjNOIiTJjKn0+u6vNJ8KNfm1QKhPRzdvT46U0[/tex]，所以[tex=3.143x1.357]c86tDFRnFfAli7psTNwdAw==[/tex]。再设[tex=1.0x1.214]z4GCOl3dupfzvd85enh2qw==[/tex]，[tex=1.0x1.214]sFXbnVgW/BNxUd/jwYZvjA==[/tex]，[tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex]，[tex=1.071x1.214]g2gJwdm/HzN/P8450b3mMQ==[/tex]为[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的全部特征值，则[tex=8.429x1.357]E6RdZ/QcF2ic65wKHlSVsoyq0USZDEOLegd7EDS6KBnGrInrDMTA0V61Gj3ZPobyk2SSKuWnkMBAdq+s/8d0yg==[/tex]，所以[tex=9.429x1.357]8TlwHMYQKR7tjdDh4keck+5qVR4jK+AVZiRCXuT7fuvnNTH/NjOrB4+yg7chUlER[/tex]。

举一反三

内容

0
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵且有 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 个不同的特征值，若 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 也是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵且 [tex=3.857x1.0]ooePFz0xjtusf6vpqQWa8A==[/tex], 求证: 存在次数不超过 [tex=1.929x1.143]qMmLG3OT6I+UYFeehawKuA==[/tex] 的多项式 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex], 使 [tex=3.857x1.357]XcfmjFeCm4NAC3RIoBAlfg==[/tex]
1
设 4 阶方阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]满足条件[tex=13.429x1.571]pNXwj7dxoGbcprO3/HATinbMcrt8sC5y1uPd3TRH6ssCiv8WtIXVXb9cSHXuJP20[/tex], 其中[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]为 4 阶单位矩阵，求[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的伴随矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]有一个特征值。
2
在下列条件中不是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为可逆矩阵的充要条件的是未知类型：{'options': ['[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0的特征值都不等于零', '[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0的行列式不等于零', '[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0的特征多项式的常数项不等于零', '[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0有\xa0[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]\xa0个线性无关的特征向量'], 'type': 102}
3
设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是一个[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]级正交矩阵，证明：如果[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]有特征值，则[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的特征值是1或[tex=1.286x1.143]Mj6+lbt3rBoas+xQLVX/oA==[/tex].
4
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是可逆阵. 证明:[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的特征值一定不为 0