长为[tex=0.357x1.0]Le5Jr6QhXJv1Yp4NjrbGVA==[/tex]、两端固定的均匀弦在某介质中作自由微小振动，设这介质的阻力与速度成正比（单位长度的阻力为[tex=2.786x1.214]CT5uJ4aI6gFTR63zjj1QdNcnBMfAxFzsC1SVYIJTTE0=[/tex], [tex=0.643x0.786]W9TCskxkagdDgWMvasdFzg==[/tex]是正的小常数），弦的初始位移和初始速度分别为[tex=2.071x1.357]eAvaTAXWWX5VwHAZCgurVQ==[/tex]和[tex=2.0x1.357]oY9H+horQavhEg7hGhdwWA==[/tex]，求解访的振动情况.
定解问题是[tex=21.929x4.786]7EJHVCtO2IWq3KpdB+jQskWX66efT+3aPTEyQrmWPCwWDCxQgyostfzNZRQJwuByYNSWnBLSFW6T5VeN4glWQ8BD/p1XRpyQEyRaCte8PPgZkS5D3+436MniymLYg85eYOvlWZW9YUepLnwKAe229WR9FDXnX3z2t6F+HIZkFa0mumdvoAkzlxPAfntiChS5LHYJJmI77jxS04jkT+V4Gjr1r9GOp2Efg0XYnr48RyGEOH5rDAgHQUq0FequYyuChNVrY5OMNCjV1kJPKzWJ7y+V5gg/TGXMDuqXTtCQHg8gL7MCXiS2otbopq/u5ZAB[/tex]其中[tex=2.429x2.357]y/v3d1zM6kGX9ylP8vEOyQQPoOsDdROerIT4+ZnKs80=[/tex]设[tex=7.429x1.357]JhAiW73DfEi627QNVwHfymPFIwVekQPui7cHPV9qALQ=[/tex]代入方程和齐次边界条件中得到[tex=15.0x3.357]7EJHVCtO2IWq3KpdB+jQsrzACxKMNYvzN7k4Sij1iiBnTSoPzCEJxKCK1jG521G0/mzEkFGYa7HIxGngGR53HTfxx/LwSvHTZkDiJRylstJI6k6C4Jiw1eDYgGBZQioBqw48NFsI53Ek24AXMaZKY7xo2v1FCurwMk76/vaDPDjcR+flG3qqg7JsoDHQpTKG[/tex]即[tex=11.571x1.5]Zm2DMRan1akOb7H30GB2aom8zXE1YybgyMrJUyYO4T1VNCuMRqXpc1KQt4aySS1vNr3CJ75gW+PRYDa9I5rUOg==[/tex]④得到本征值[tex=4.786x2.143]Zhic3MJT6sh0XbH5KS6nb/Vc+xyCQj9U2qATU/9WXG9ze8Xq+v0ERVV6adafLMSI[/tex]和本征函数[tex=15.5x2.143]Ahcvk4EsERmpnwW5Ngg7uGlNRAUDwd4h8bjomcFdfUxCcZZUPU8tWxxdyEoZ3UBvDQe409N3EJu1vlwTRQ5RMw==[/tex]，方程④成为[tex=20.286x2.357]Zm2DMRan1akOb7H30GB2aom8zXE1YybgyMrJUyYO4T2KXiG3WywhG4Tzh6hDxM4Gh/KnZpHNtMlU86FPv4bqj+zpksmNtOVXofSlhOAlZnOhmtVQ1UyJUsu7+ytObV7xPFir6bJGs48MrPMcYl9C8g==[/tex]⑤为解此方程，可先做函数代换[tex=5.357x1.429]2y00fxXEqD/9G3T4Z87guXEEeQnJyR3FsPl/b+B4MY0=[/tex]（常数[tex=0.643x1.0]hK6dRoCn+OGpoJ7dSqNW4g==[/tex]待定），设法使[tex=1.643x1.357]tM+p/itwsYch9hJH1IXAwg==[/tex]的方程中不出现[tex=1.929x1.429]Oy+pD2kAMFifLLoZrGdpRg==[/tex]项，方程⑤经代换后成为[tex=21.0x2.786]EUTR+fLMjvEtEyK7exkIVwUxDxCC3TBEbTUCrlVVPmkxyFYZ3bSzOH9h/c8EphD1BcdMBjsme9FaJkNt0zcfn0XJsyfZ0ZvynaZLcYB4AuKqoHuNgnKHEY7puwtyK5LhY1ssRO67JCNMb9odOnz43wrjHkE8lH9o2NLRRHGNAUs=[/tex]⑥可见取[tex=2.786x1.214]GUKaLndAW14C84kpyx1lIA==[/tex]后方程⑥中不出现[tex=1.929x1.429]Oy+pD2kAMFifLLoZrGdpRg==[/tex]项，而方程的解为[tex=22.5x2.786]TChFheRAPX7nKG7tavimteN6o0jHD0LF0TzF+JF5nK9y8BZh0Pwf2KfFBgbKhc+H88KPdK9KbE+0k4DfvS8bzK0M/06npqzShU+gteLvMXzGKu1dT4wjtdy9UZ9EPkHCO3E7COcg/h51p2kRFOP03kbySFI3qwflMGOmdCYFz4CB047/zq65eGGnN4cGFMfA[/tex][tex=31.929x3.357]RmaR9FnS8uqj0znE3l2WdzDYuDgc4vGJMIrHxGgJOYB3BB/B8r1VHSABcCv74LxkSvQhhne/P/MR+5bVJwqUOmA1fV0yJUF84u3PxgLTAG+9HMLA1PzDPUMXJBfNnqlNVz2bU/kYidbnCmNGqXzj0IFqy63lt+awPIOHXFdcLdWRlNcIVvViNVHRUgpYDO3QXlzxE0/MRt9WvJOfvJdTccwXYQhgppIBVjcLEbBa8+2SWawOlj7GnQKk1aYcvwnPQVPJZELwCdQmzn48oWJ6/w==[/tex]⑦将之代入初始条件中有[tex=9.286x3.286]pOu3mRBZcwnxIs91RyZo1vWYD76lh3kIQPZwqHR1+uOlh6AUzfda0TA4m2/i5Dl4XAlyAsK4proYuFoYu/Yqeg==[/tex][tex=16.929x3.286]Y0Pbm/VOnE4qPKsY5yO9+pZLY38XY15V9Q9kxp8oo+0Tf2hX3QA96X1RH7L7I6a3r7mDHi05ZjdnwljMkUYwhzssdGTnhM2o4lfC74SfIk4amsnrKB1qGS3yXJkLL+zJwvttm9DVAstTfvaY74HFU8OnpSfvaimXjBsFE0XeBAw=[/tex]则[tex=11.5x2.857]iXCcK5CK37XxHQhQwj1ywMMgyRJbtAiuomJK1Sm+mDdcCBz8xMaeZf8y/hA0TvejyvIQUK3yGgofwj8jLZTX/NVtzEJNv2jpsHmWS/CLg0Q=[/tex]⑧[tex=19.5x3.643]u2uqBOx5MOgmKEja4Y2fBTpbUI0zRQ3s8UFFauFL0EZ8q04MXp2ns67VJRRaimE/41MeWG/W66gDjVDv87/JTFclk+r0stXQX3Wic1rGvLg767jpA+KdY2SIr3F1wj+aS84B+1gYudgfpQxpFiD38VtbZhcQMqm3W3WHS1gPOQY=[/tex]⑨当[tex=1.214x1.214]qdRHOT2DsJg9PFCaueH5VA==[/tex]和[tex=1.214x1.214]nSS0pVcOEI1c3LoJ/p59wQ==[/tex]分别取⑧式和⑨式时，⑦式就是原定解问题的解.
举一反三
- 求解无限长弦的自由振动,设弦的初始位移为[tex=2.071x1.357]Wcz3USjhGhKpAyRt+u5BdA==[/tex],初始速度为[tex=3.571x1.429]vS5XtdtZPo9P8Dp/XjpbYzzQaUxoPsGs3s+pAY4CfFQ=[/tex].
- 研究长为[tex=0.357x1.0]Le5Jr6QhXJv1Yp4NjrbGVA==[/tex]，一端固定，另一端自由，初始位移为[tex=1.214x1.0]oRQs3fUc5jUXOKKnlCZAtw==[/tex]而初始速度为零的弦的自由振动情况。
- 求解一无限长弦的自由振动,设弦的初始位移为 [tex=2.071x1.357]eAvaTAXWWX5VwHAZCgurVQ==[/tex],初速度为 [tex=3.571x1.429]soZP84EF2c2mAbXzgnyfBhREeOSdm1bQ6TvYRrDkKo0=[/tex],并解释物理意义.
- 求解无界弦的自由振动，设初始位移为 [tex=2.286x1.357]HDlnwPYn3BX2/l9he4ffsg==[/tex] 初始速度为[tex=3.571x1.429]soZP84EF2c2mAbXzgnyfBhREeOSdm1bQ6TvYRrDkKo0=[/tex]。
- 导出均匀弦在阻尼介质中的微小横振动方程，设弦的单位长度所受的阻力与振动速度成正比（比例常数为[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]）.
内容
- 0
半无限长弦的初始位移和初始速度都是零,端点作微小振动[tex=6.429x1.357]WfzXYNdOb3O1ndzxlvYEHmx5hKnmHfpvOFBF+5JmU+OgMKxeoNNQIoTzWCIGBOSB[/tex].求解弦的振动.
- 1
一根均匀弦两端分别在 [tex=1.857x1.0]bOlCq/PHWhsSVMaVf7Obdg==[/tex] 及 [tex=2.071x1.0]jA1m6CKNNVX9j/JBOhtCnw==[/tex] 处固定，设初始速度为零，初始时刻弦的形状为一抛物线，抛物线的顶点为 [tex=3.857x1.357]yAvWLLgXgIYOSlJSlTP+RJrxdUk9PiuA2CXu1oTMdEI=[/tex] 求弦振动的位移。
- 2
设有一根长为L的均匀柔软的弦做微小横振动,其平衡位置是x轴的区间[0,L].让u表示横位移,弦的线密度为ρ,张力大小为T.在振动过程中,受到一阻力,阻力的大小与位移速度成正比,比例系数为k.设初始位移为[tex=2.0x1.357]oY9H+horQavhEg7hGhdwWA==[/tex],初始速度为0.在x =0端固定,在x=L端有一弹性支撑,弹性强度为k.试写出弦的位移u(x,t)所满足的定解问题.
- 3
半无限长弦的初始位移和初始速度都为0,端点振动规律为 [tex=7.143x1.357]ovdf6hJlCCEUr1UrG9g96LyVrvg4qPokP/F3UTedPMU=[/tex]求解半无界弦的振动规律.
- 4
长为[tex=0.357x1.0]5vVfAZliYwqMw8JaLE+iEA==[/tex]的均匀弦,两端[tex=1.857x1.0]sQ8UKBTHa4u9aJQTaFsBAg==[/tex]和[tex=1.714x1.0]z+3PraJ7SDoHa3jz672t+w==[/tex]固定,弦中张力为[tex=1.0x1.214]EsoJUyZj/6yD36MxA5tpQA==[/tex],在[tex=1.929x1.0]CE85dl2/W/1pUEtOAO/mFQ==[/tex]点,以横向力[tex=1.0x1.214]hzi2MsSHFnOjpdFGEAvoCA==[/tex]拉弦，达到稳定后放手任其自由振动.写出初始条件，问是否需要衔接条件？