一长为l,截面积相同的均匀细杆,今将x=0端保持为0 ℃,x=l端按牛顿冷却定律向温度为0℃的介质散热,侧面绝热,原先杆的温度为[tex=1.071x1.0]snBvGe03H9P9a6ti+QiaZcKatITUikZrdcqN8uglFoM=[/tex] ,求在冷却过程中杆上各处温度的变化.

2022-07-23

一长为l,截面积相同的均匀细杆,今将x=0端保持为0 ℃,x=l端按牛顿冷却定律向温度为0℃的介质散热,侧面绝热,原先杆的温度为[tex=1.071x1.0]snBvGe03H9P9a6ti+QiaZcKatITUikZrdcqN8uglFoM=[/tex] ,求在冷却过程中杆上各处温度的变化.

答案：

解:由题意得定解问题为[tex=13.429x4.643]fnpmC2J6JmQBLyo5NmGAzxHLdP6O36RJQYSTSkj4RUnteROEHuISomRDGYCLeHyM1GlyoED57n51kzYX0UFeBmkIQ3sUnjqPJLXQRVtKAXYuLX2+upojbwUSzwgxlFmhgGe6aJJpe37F3wbiN3V+UYTIpCmkjtLXeJv01t9WId3vkYv6B3UItYZfDnWkNXaHWjsh/zjUlhAC1U2QIRReretUNSQCzQfolrXT19V5tBA=[/tex]令[tex=7.429x1.357]Sn8qXtvoKx4GKBNfH/PNyejiAUxl94Bi9XhgSmu684U=[/tex]代回泛定方程得[tex=7.214x2.429]3nYpNx+W2qIS7Bnx1BNQ5Whm4QooM1YLbifqn60/UyaDcUYqn6MSNs0sMWCajjaGLcH1ILQ+liSTZhjV/z9Jd1RIc8u/V0xRgbVNe/Z6d0w=[/tex]进一步可得[tex=18.143x3.357]fnpmC2J6JmQBLyo5NmGAz/R8RKwH7hSEnm40ViGGpYciRiq0SJ6evWzGcJjhAzXe+qVNfnWLHds6i1WL4P+WfT1+Gt8pZFkQMUDzfBWXVGXg2safLtWmx2xruwexhZ0LlZpqGYjydMKLfFy8MddyUdqsFYLeVRL1ujlOHxEkJDuWuH1oa8mC2jRJfba5SaVT[/tex]对时间变数t，解得[tex=5.643x1.571]2wzWBoMSJGLUl5PFWcUdcsf7DaR1e2kmo3eLfZAE3Mf3i1Q1qpB9mavJv9FxV5Rb[/tex]对空间变数x，解得[tex=10.929x1.357]EdzhdUDGL+Ng0y9qSOivr0/UTiR8TsjLfilFdEQc0w/8iSVmOMCq45gsO2aVigrO[/tex]由[tex=3.429x1.357]25500Ggaah0DxTR4KV57gw==[/tex]可知A=0，则[tex=6.5x1.357]LsklOKoJK5j/76e4KMDNrzvDxFWem6ayXY8mXFzgvcY=[/tex]由[tex=6.786x1.429]L7V28vaCkClBi9yi9MEVyXguEEoiguS3sHcjGKewO9s=[/tex]可知[tex=9.929x1.143]gCj+NMLO17I5AA4Ptckwbdisq91EA1gFOyryEuoOHsXEuMaewhQUb0gNjby2hL25[/tex]，即[tex=6.429x2.429]LMuMUcwm7Sye98ArxOugzxH991UuH2aAGO4AKqRn4keALBG8XalZMee5M+hKCsds[/tex]令[tex=1.0x1.0]oqns3t//8CsQYhO72zUv0g==[/tex]为方程[tex=5.5x1.214]3ojfrNrSOlJnHTocH32yDg==[/tex]的第n个根，其中[tex=2.5x2.429]Vx8KVO8zvh+m+oBYRDulcQ==[/tex]，则[tex=3.286x2.143]+outu8FSR+QB1duU8tUvhscci6yM0ITiF3BPGQ5ZopA=[/tex]两边傅里叶展开，分别带入其正交关系[tex=18.643x2.857]7qrdyewnHKMv6OUqtxgxgTdzFDopRxmZbIuuLzj1nvDlTqTFjQxYIdX04Bca1pN68tZCZUw7Hyc0Mx0LZLXt0jWifoeJ39RstJ06Jaku8Uf7SVI9d4hltIo3JveOPnAsXoTWhhwKr19jIDQUhHPR9A==[/tex]可求得[tex=17.643x2.786]Llh9exFJck45gQFT8bV86KoL9grHnjpYahi4TSTdrBsE8wNcil7CTbpQdyW0p9DOLNCsRLc9dGbA+2kL/IvqG/hdf97h51fj/k2xd3lpcAPL269tRJ5gWzMlfGZaIrXE9dDl1/bYrk6NA2Xj2lTZpCV1QHXuAK6FZ0Jl1skOuUI=[/tex][tex=9.429x2.571]OqrGzrW45S7FReQbHpXj7Iggu8dWIdFVT/BnZG27TDcgIu4uMKbqQKv/1ludHgNK5g6HLxEwQ1Ldiv9zK//I1pwDd8akugsY7FZTAD6rcHA=[/tex]

举一反三

内容

0
一长为b的均匀细杆,两端保持零度,杆内的初始温度分布为[tex=7.571x1.5]WfzXYNdOb3O1ndzxlvYEHtbAez2Co7SAhFq8toN9TO+0Mg0G7HJ1dkAvM0ugJfY8[/tex]其中b为常数,求杆内的温度变化.
1
一长为l的均匀细杆,初始温度为零度,左温度随时间线性.上升,比例常数为A,即[tex=4.286x1.357]WfzXYNdOb3O1ndzxlvYEHqCFLkem5dBUMz/HY2dc4GQ=[/tex]右端[tex=1.714x1.0]z+3PraJ7SDoHa3jz672t+w==[/tex]保持零度.试求杆内各点的温度变化。
2
设初始温度为零，长为[tex=0.357x1.0]Le5Jr6QhXJv1Yp4NjrbGVA==[/tex]的均匀细杆，当杆的一端温度为[tex=0.929x1.0]M6rCjWOyyOXOB1PmbinM2A==[/tex]，而另一端及杆的侧面对于周围介质热绝缘时，求杆中的温度分布.
3
一长度为l的有界杆,侧面是绝热的,于[tex=1.643x1.0]e6RhHIicI4xKNcYb53RxjQ==[/tex]时刻杆的温度均匀并等于[tex=1.0x1.214]EsoJUyZj/6yD36MxA5tpQA==[/tex]对于以下三种情况,试求杆中各点的温度变化规律：两端保持零度
4
一长度为l的有界杆,侧面是绝热的,于[tex=1.643x1.0]e6RhHIicI4xKNcYb53RxjQ==[/tex]时刻杆的温度均匀并等于[tex=1.0x1.214]EsoJUyZj/6yD36MxA5tpQA==[/tex]对于以下三种情况,试求杆中各点的温度变化规律：两端保持恒定的温度[tex=5.143x1.357]sy3BSoB5wvpum4bgCLhwse83hfbK0Xz4PKklpXIr6P7pOJ1NCLKPI00txTIhyEez[/tex]