一个飞行管理问题（1995年全国大学生数学建模竞赛A题）在约[tex=3.429x1.0]sSiFP/U/oyAbnJH53saM2Q==[/tex]高空的某边长为[tex=2.929x1.0]TnxTMuI5/zjRi8WgvrVPsg==[/tex]的正方形区域内,经常有若干架飞机作水平飞行. 区域内每架飞机的位置和速度问量均由计算机记录其数据,以便进行飞行管理. 当一架欲进人该区域的飞机到达区域边缘时,记录其数据后,要立即计算并判断是否会与区城内的飞机发生碰撞.如果会碰撞,则应计算如何调整各架(包括新进入的 )飞机飞行的方向角,以避免碰撞. 现假定条件如下:1) 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于[tex=1.929x1.0]FdJOQ4FpwU0RQBI6ScfsMw==[/tex];2) 飞机飞行方向角调整的角度不应超过 30 度;3) 所有飞机飞行速度均为每小时[tex=2.929x1.0]az2TcxLGcHsKS8d2tXASKQ==[/tex];[br][/br]4) 进人该区域的飞机在到达该区域边缘时,与区域内飞机的距离应在[tex=2.429x1.0]BOPur8qVIi2O0wuddUUYfA==[/tex]以上.5) 最多需考虑 6 架飞机;6) 不必考虑飞机离开此区域后的状况.请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型,列出计算步骤,对以下数据进行计算(方向角误差不超过 0.01 度),要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小.设该区域 4 个顶点的坐标为:[tex=14.286x1.357]JOKyYFKKbu0R2KD7COn2Yu3oTtP+L2LBZO0wDtOxskA48DEkgG7vLIBOyBhaH64t[/tex].记录数据为:[img=556x280]178db9bb1e45449.png[/img]

2022-07-02

一个飞行管理问题（1995年全国大学生数学建模竞赛A题）在约[tex=3.429x1.0]sSiFP/U/oyAbnJH53saM2Q==[/tex]高空的某边长为[tex=2.929x1.0]TnxTMuI5/zjRi8WgvrVPsg==[/tex]的正方形区域内,经常有若干架飞机作水平飞行. 区域内每架飞机的位置和速度问量均由计算机记录其数据,以便进行飞行管理. 当一架欲进人该区域的飞机到达区域边缘时,记录其数据后,要立即计算并判断是否会与区城内的飞机发生碰撞.如果会碰撞,则应计算如何调整各架(包括新进入的 )飞机飞行的方向角,以避免碰撞. 现假定条件如下:1) 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于[tex=1.929x1.0]FdJOQ4FpwU0RQBI6ScfsMw==[/tex];2) 飞机飞行方向角调整的角度不应超过 30 度;3) 所有飞机飞行速度均为每小时[tex=2.929x1.0]az2TcxLGcHsKS8d2tXASKQ==[/tex];[br][/br]4) 进人该区域的飞机在到达该区域边缘时,与区域内飞机的距离应在[tex=2.429x1.0]BOPur8qVIi2O0wuddUUYfA==[/tex]以上.5) 最多需考虑 6 架飞机;6) 不必考虑飞机离开此区域后的状况.请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型,列出计算步骤,对以下数据进行计算(方向角误差不超过 0.01 度),要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小.设该区域 4 个顶点的坐标为:[tex=14.286x1.357]JOKyYFKKbu0R2KD7COn2Yu3oTtP+L2LBZO0wDtOxskA48DEkgG7vLIBOyBhaH64t[/tex].记录数据为:[img=556x280]178db9bb1e45449.png[/img]

答案：

设[tex=1.214x1.071]MviImULzu7r1kfcDZic82Q==[/tex]为第[tex=0.357x1.0]O88k7AtkDgTC9kv/8dY0lg==[/tex]架飞机与第[tex=0.429x1.214]rmIPPJrP+tFN2kAYPlU/4g==[/tex]架飞机的碰撞角[tex=0.429x1.357]rT8OhNrCJQGfi9ZBoLwKzA==[/tex]即[tex=7.643x1.357]b9itArfviESXLZ0hP0haOU266JULoi1GS1AuNFGlT84oM4u1W5634lw7UMjIueLN[/tex], 其中 [tex=1.0x1.071]D/yvOQUIcCj8RwknEjg4fQ==[/tex]为这两架飞机连线的长度）,[tex=1.143x1.286]uF1tP27uvrrTAa0PTgmRmg==[/tex]为第[tex=0.357x1.0]O88k7AtkDgTC9kv/8dY0lg==[/tex]架飞机相对于第[tex=0.429x1.214]rmIPPJrP+tFN2kAYPlU/4g==[/tex]架飞机的相对速度(矢量) 与这两架飞机连线(从[tex=0.357x1.0]O88k7AtkDgTC9kv/8dY0lg==[/tex]指向[tex=0.429x1.214]rmIPPJrP+tFN2kAYPlU/4g==[/tex]的矢量)的夹角(以连线矢量为基准,逆时针方向为正,顺时针方向为负）,[tex=0.714x1.214]7BIdRK52iCzqb4gNWFAZ8A==[/tex] 为第[tex=0.357x1.0]O88k7AtkDgTC9kv/8dY0lg==[/tex]架飞机飞行方向角调整量.本问题中的优化目标函数可以有不同的形式:如使所有飞机的最大调整量 最小:所有飞机的调整量绝对值之和最小等. 以所有飞机的调整量绝对值之和最小,可以得到如下的数学规划模型：[tex=1.786x1.0]iqooW0qOi4BKCk40ZZSEuPMK0yIaNLo7dq9AefWppQ8=[/tex][tex=2.857x2.857]acduKi6KlSnddIAHb9yiJfGqXBLaNPN1oi5PBuU5xcM/hLrxilL49Tjdnl3ilUJq[/tex][tex=21.0x2.786]g4XIwceU2XVjG6/K8Rzr9m4MRNgjqZlRO9q0JuXZY89lVGuFAiEU7KK1Po5RlKr7mxv/wCVF5siwlUjgVKiT81s4BajMt1byPLuuTSjx/GJKOGVTUgAilJ41awy4ItSCFUxLXqCVFOvYzETz3HaLVrmmo7KBPUgzen5l8DKz5VOYjRSsKMnag4TezTI+XFo5[/tex][tex=10.0x1.357]gCterd2zCllg0Ps2DV1tUVYrISL5DY14aD/hLO3YSdQnasOccZ51B05jGEWmEIN7dE03mIjeQtpPEw6RWoJDjYEDXhffoHxZqA1txEhKRJ4=[/tex]为了利用 LINGO求解这个数学规划模型,可以首先采用其他数学软件计算出[tex=1.214x1.071]MviImULzu7r1kfcDZic82Q==[/tex]和[tex=1.143x1.286]l589a15ooXmS/F3FpAmECg==[/tex].其实,[tex=1.214x1.071]3LHlBATLd6XTHWOz9FX/sg==[/tex]和[tex=1.143x1.286]l589a15ooXmS/F3FpAmECg==[/tex]也是可以直接使用 LINGO来计算的,这相当于解关于[tex=1.214x1.071]MviImULzu7r1kfcDZic82Q==[/tex]和[tex=1.143x1.286]uF1tP27uvrrTAa0PTgmRmg==[/tex]的方程,只是解方程并非 LINDO软件的特长.这里我们作为一个例子,看看如何利用 LINGO计算 [tex=1.214x1.071]MviImULzu7r1kfcDZic82Q==[/tex], 可输入如下模型到 LINGO 求解[tex=1.214x1.071]3LHlBATLd6XTHWOz9FX/sg==[/tex]:[img=488x592]178dba5fd187cd7.png[/img][tex=1.143x1.286]l589a15ooXmS/F3FpAmECg==[/tex]也可类似地利用 LINGO求得,计算结果如下：[img=497x203]178dba6e93334bb.png[/img]于是,该飞机管理的数学规划模型可如下输入 LINGO 求解:[img=518x547]178dba7f2b4bc57.png[/img]求解结果如下:[img=307x48]178dba8b23ee488.png[/img][img=372x212]178dba921579b15.png[/img]由此可知最优解为:[tex=4.357x1.286]W2HGyYkoU7EgVUe5UawBiOrqmFVt6OzPqkIcFaksOn/G1RBDFLenPqTSBKTVkFrR[/tex],[tex=4.714x1.357]WJu/c9Gdl1NTPpZHa1Jx43KDSZIHUFDJytOEUpPUfQeWuzobeFpoZNzKBLO872AS[/tex] 其它调整角度为 0 [tex=0.429x1.357]plHcCtdncEdTzaEI1WHBQA==[/tex].评注:如果将目标改为最大调整量最小,则可进一步化简得到线性规划模型,也可用 LINDO 或 LINGO 求解.

举一反三

内容

0
飞机A以[tex=1.071x1.0]Z12Cuune6iVhVn0j5tGAUQ==[/tex]= 1000 km/h的速率(相对地面)向南飞行，同时另一架飞机B以[tex=1.071x1.0]lY9t1qhMrWtfHBim3HspMw==[/tex]=800 km/h的速率(相对地面)向东偏南30°方向飞行。求A机相对于B机的速度与B机相对于A机的速度。
1
一飞机沿抛物线路径[tex=4.214x2.5]51tpKWAHoi+lDbXWqaERsXfts+4m/mPSfvzgoHWs5K0=[/tex]([tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex]轴铅直向上，单位为[tex=0.857x1.286]VtHyCG+ZQg7fAIyRU+W9ow==[/tex])作俯冲飞行，在坐标原点[tex=0.786x1.286]/aLPP1sXG9WQPxIsGVtWrg==[/tex]处的飞机速度为[tex=4.643x1.357]9H343pF4OF5gmBc8JQyON0LNmIJg6dXWp+nc0/GKEAw=[/tex]，飞行员体重[tex=3.571x1.214]r9KMKT5xVAN515vq3aKSQg==[/tex]，求飞机俯冲至最低点即原点[tex=0.786x1.286]/aLPP1sXG9WQPxIsGVtWrg==[/tex]处时座椅对飞行员的反力。
2
一飞机沿抛物线路径[tex=4.429x2.143]pqB3NE8kN1u3+sDJhSIFJH0pYV7GrOHfO58fDG0kzjU=[/tex]（[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex]轴铅直向上，单位为[tex=0.857x1.286]VtHyCG+ZQg7fAIyRU+W9ow==[/tex]）作俯冲飞行，在坐标原点[tex=0.786x1.286]/aLPP1sXG9WQPxIsGVtWrg==[/tex]处飞机的速度为[tex=4.5x1.357]FYHYgOh+yqiNm5kt9UYP9D6BcXr6AfKaBH46+dN2L8YVBXsKj6tLap3t8DBkxZZm[/tex]，飞行员体重[tex=3.643x1.214]/TXcmqzjSmCdUE3z+U2H+qtcAl5LdXgygcjzQQAH1eY=[/tex]。求飞机俯冲至最低点即原点[tex=0.786x1.286]/aLPP1sXG9WQPxIsGVtWrg==[/tex]处时座椅对飞行员的反力。
3
当正在高度[tex=0.929x1.286]+6R6Ey5borUsIf6RDxJ0vA==[/tex]飞行的飞机开始向机场跑道下降时，如图2-7所示, 从飞机到机场的水平地面距离为[tex=0.714x1.286]LA74ioWWkXdGbHCtFk/Sog==[/tex]。假设飞机下降的路径为三次函数[tex=9.786x1.286]lpWbA9Z/op3L3+zT8rzHvwEmfKNgk1lfys/p4uG7wUg=[/tex]的图形，其中[tex=5.357x1.286]HcVZp5W0l7gxqJgKxGmkqFQOS7dWzvgO+LzvFbfMc2k=[/tex]，[tex=4.143x1.286]HcVZp5W0l7gxqJgKxGmkqJqVSIDLHW/sQLkos+AMCKg=[/tex]。试确定飞机的降落路径。[img=539x267]176e0f208425252.png[/img]
4
一飞机沿拋物线路径[tex=4.429x2.143]flJYntt2xZPj/cBRxgDZe+/JzDsFzzNRmzhOBXSxIO8=[/tex]（[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex]轴垂直向上，单位为m）作俯冲飞行，在坐标原点[tex=0.786x1.286]/aLPP1sXG9WQPxIsGVtWrg==[/tex]处飞机的速度为[tex=5.071x1.286]JQP2eddHhVykMs9nHIMuOqoRfXKUbrMd1zFl4V9nPkY=[/tex]，飞行员体重[tex=4.429x1.286]PX06lFl9i8/5rsA+tO0oAQ==[/tex]. 求飞机俯冲至最低点即原点[tex=0.786x1.286]/aLPP1sXG9WQPxIsGVtWrg==[/tex]处时座椅对飞行员的反力。