证明方程[tex=4.143x1.357]9DWPgekcNXGr2rMeBRJTWg==[/tex]在1和2之间至少存在一个实根。

2022-07-27

证明方程[tex=4.143x1.357]9DWPgekcNXGr2rMeBRJTWg==[/tex]在1和2之间至少存在一个实根。

答案：

分析 证明某方程在某区间内存在实根的问题，应该用介值定理的推论，即根的存在定理。关键是要找到一个辅助函数[tex=3.143x1.357]Eg6rSgUNTUffRvxyTlFbYQ==[/tex]，讨论它是否满足推论的条件，只要把所给的方程变形为右端为0的形式，那么左端的代数式就是要找的辅助函数。证将所给方程变形为[tex=5.429x1.357]Tm3B1nwZptsasyeELGpxhA==[/tex]，作辅助函数[tex=8.0x1.5]bDeaQLOxGcjRU703p9XPArScq/ZjMjKwUz3SVACVomA=[/tex]。因为该函数是初等函数，且在区间[tex=2.0x1.357]13hO1E7iMz89y/8d++Roag==[/tex]上有定义，所以它在闭区间[tex=2.0x1.357]13hO1E7iMz89y/8d++Roag==[/tex]上连续。又[tex=9.5x1.357]9TuMOgwKYNdH7nam/oPW/A==[/tex]，[tex=10.857x1.5]fbs69YLH8Q3FWOZ9yEdwJsyne80aPfenz8mqo44zJ3c=[/tex]。可见函数[tex=6.714x1.5]3lokU8fnpJ2MlANatshO/oep2tpHrna/DtpDjbXxiRM=[/tex]满足推论的条件。于是由推论可知，在开区间[tex=2.071x1.357]039XKwqUYA6WBS+yq/ZbHQ==[/tex]内至少存在一个内点[tex=0.5x1.214]qqpHxP43oSTaBTohjVBA4g==[/tex]，使[tex=3.0x1.357]GvE/t8fGGFGZqvM0xX9Eow==[/tex]，即[tex=5.143x1.429]JRzDuDFLRwTg+BR6GkN952DZkTqlVAtoajtZN55OdF4=[/tex]，这就证明了方程[tex=4.143x1.357]9DWPgekcNXGr2rMeBRJTWg==[/tex]在[tex=2.071x1.357]039XKwqUYA6WBS+yq/ZbHQ==[/tex]内至少存在一个实根。

举一反三

内容

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设函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex] 在 [0,1]上具有2阶导数，且[tex=3.643x1.286]33dm3ityTTemCRc5ZsxYkQ==[/tex],[tex=6.571x2.071]9i81kkdiF6aVLw4Z6boxnO7AgoAJz706lR8BAxhRfN53UFSbREToGNjosBflfRksjuR47v1Wf5g1CtgCe2NVNw==[/tex] ，证明：（1）方程[tex=3.714x1.286]0ZoDYEiHpPjb6Gw3Oeomrg==[/tex] 在区间 (0,1)至少存在一个实根；（2）方程 [tex=11.5x1.929]0doxqw2d0aQzw6OeeZxb/bs8P31eHb+5ooXhPxTaxtRxhKSFUcc70MME3syAEJimy7s/+WkFCqXnLOUT77uBwceLCnBUJn/gEZZDrXHET0ToWDYMUpvWn71bViLDAhFgkVtuerPetZ7T48N20ZmPiQ==[/tex]在区间(0,1)内至少存在两个不同实根.
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令 [tex=5.286x2.5]w4Zp42THVdKRUWaWh6McXYYT5+hmuP5oUewyYwttvP5YQmoSpB8VAdR1QL77qYOj[/tex] 是实系数三次方程 [tex=6.214x1.429]WdQf/RlC+T6vYuYi+YX4MA==[/tex] 的判别式, 求证:(1) 若 [tex=2.714x1.071]kzJdFf4nPeXKhbtP01JMCg==[/tex], 则方程有 1 个实根和 2 个共轭复根;(2) 若 [tex=2.143x1.0]au1nduhIYgjkxMPZw2ynrQ==[/tex], 则方程有 3 个实根, 其中 2 个根相同;(3) 若 [tex=2.714x1.071]8c95v2LCoentTCU4dmXp6g==[/tex], 则方程有 3 个互不相等的实根.
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(1) 证明方程 [tex=11.0x1.286]jbVGaT6RmSX6PzIlMwtnDdGLhwRtR/n6wz/3vH0rT4k=[/tex]有且仅有一个正实根。(2) 证明方程 [tex=11.071x1.286]jbVGaT6RmSX6PzIlMwtnDf3A+bLqmZt64vpb/0LXSpo=[/tex] 当 [tex=2.357x1.286]DGchB59sgtXGIyqZcnhxcQ==[/tex] 时无实根, 当[tex=2.357x1.286]n/43mbxif2rzCnZ7631Rfw==[/tex]时恰有两个正实根。
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证明方程[tex=5.0x1.286]lDQCjztRH1JSXv3NMmbfYsSSa0QaoFZlfHDLtYysAj8=[/tex]至少有一个根介于 1 和 2 之间。
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在什么条件下,方程[tex=6.214x1.429]WdQf/RlC+T6vYuYi+YX4MA==[/tex],1) 仅有一个实根,2) 有三个不同的实根.