求证: [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶方阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是奇异矩阵的充要条件是存在不为零的同阶方阵 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex], 使 [tex=3.071x1.0]9p6jQHnicI+OkelBMty3Kw==[/tex].

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2022-07-27

求证: [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶方阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是奇异矩阵的充要条件是存在不为零的同阶方阵 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex], 使 [tex=3.071x1.0]9p6jQHnicI+OkelBMty3Kw==[/tex].

答案：

证明   显然若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可逆, 从 [tex=3.071x1.0]9p6jQHnicI+OkelBMty3Kw==[/tex] 可得到 [tex=2.357x1.0]95TotpoSOWvvZ6CUVkAroQ==[/tex], 因此充分性成立. 反之, 若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是奇异矩阵, 则存在可逆矩阵 [tex=1.714x1.214]Se7Z7OxYfA0Y1oKcIdKVGg==[/tex], 使 [tex=8.143x2.786]VFMjE/u1rTyLwKjOj2m9XHrMB3ib8Sy0cImWfd0oul98R+QLa/ILRtQu30R5vCLt/LV5OHIK5Bgjh48EISQo8QSCO6ZbvcS/WeduQlKh2X8=[/tex], 其 中 [tex=2.714x0.929]D72w8upiJ9s5ahUIVeuh4A==[/tex] 令 [tex=7.643x2.786]0g5vxaagmyEBQHxTGP3jN+brUFkJQdio4r7LhU2tWtrGByIK3qlzaijzbYepXWMloSjIxpb+CZjT8n4MEisljJk2mWjEcitZ2i+pR15U7vY=[/tex], 则 [tex=4.786x1.214]SnnNw7hhYhrHCnTkiAoKWA==[/tex] 又因为 [tex=0.643x1.0]WUJ/JHItsc3Bqx1WYNJcrg==[/tex] 可逆, 故 [tex=4.143x1.214]j2RE9awmpOZIqfQ/KzhoNg==[/tex] 只要令 [tex=3.071x1.214]8hbh0f1HWMta7+4uiP/KtQ==[/tex] 就得到了结论.

举一反三

内容

0
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵, 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是半正定阵的充要条件是存在同阶实对称矩阵 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex], 使得 [tex=2.786x1.214]or70cFxB56GcrSSRwtcDrw==[/tex].
1
设[tex=1.143x1.071]DFelGZAPNOqMgdbfKVoEHA==[/tex]表示[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶方阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的附属方阵，证明：[tex=5.786x1.357]cRSSutUe8lxP7o+KrExJjIlQDv25D1qSOdQh99TznTk=[/tex]，其中[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]也是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶方阵。
2
设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶方阵，如有非零的[tex=2.214x1.071]d9k41VljeHQhTL8UD/E0vA==[/tex]矩阵[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]使[tex=3.071x1.0]382Xu/wytY6hJ89SJfkh4Q==[/tex]，则[tex=2.643x1.357]uxQONrnFFhEeZ8kP3N5oXA==[/tex].
3
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵, 若存在 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实矩阵 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex], 使 [tex=4.143x1.286]YCUl/vNcR5SNlwwslg9Jhb5CY//bqvCw+mSVvBQx12Q=[/tex] 是正定阵, 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为非异阵.
4
[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的特征值均为正数的充要条件是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为正定方阵.