设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个有单位元（用[tex=0.5x1.0]oYgVDn+QZqcDCRxqEZwM2A==[/tex]表示）的环，[tex=3.143x1.214]jaZMaos6zVCOKtLo+H9F+w==[/tex]证明：如果 [tex=2.286x1.143]6XLDFpbGC81VG9rXBUGstg==[/tex]在[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中有逆元，则[tex=2.286x1.143]oXBfnhsYpkpRkDchPfN9Jg==[/tex]在[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中也有逆元.
举一反三
- 设环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]有单位元[tex=0.429x1.357]ljx4OiPNKel/qklZEW5k2A==[/tex]用[tex=0.5x1.0]oYgVDn+QZqcDCRxqEZwM2A==[/tex]表示[tex=0.643x1.286]FnhFrN9oO7CZh9W5AkR0zQ==[/tex]又[tex=3.143x1.214]jaZMaos6zVCOKtLo+H9F+w==[/tex]证明：如果[tex=3.5x1.143]Fik258M4ECQmxbviDiMiew==[/tex]且 [tex=1.857x1.143]4WPfFx57ZNON7NcLT4Yb3w==[/tex]在[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中有逆元，则[tex=3.0x1.0]cLq7etbzBnS290w+TLxPqA==[/tex]
- 设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元的环. 证明: 环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的可逆元全体 [tex=2.286x1.357]VSrq2EBbjY/lzOCsf2jcIg==[/tex] 关于环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的乘法构成群.
- 设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元 [tex=3.143x1.357]BwybrwuFYErsCAQCXkFyKQ==[/tex] 的环, 证明 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 中的可逆元不可能是零因子.
- 设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元的交换环, [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的真理想. 证明: 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的每个不在 [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 中的元素都可逆, 则 [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的唯一的极大理想.
- 设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个有单位元(用[tex=0.5x1.0]oYgVDn+QZqcDCRxqEZwM2A==[/tex]表示) 的有限环. 证明：如果 [tex=1.857x1.0]NkWFkOlv9vzbJwwsZoWoUA==[/tex]，则[tex=2.571x1.0]iBMGu3A+Zdl9UrLXP22w+w==[/tex]