设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元 [tex=3.143x1.357]BwybrwuFYErsCAQCXkFyKQ==[/tex] 的环, 证明 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 中的可逆元不可能是零因子.
举一反三
- 设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是有限环, 假设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]没有零因子, 证明: [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是除环.
- 设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元的环. 证明: 环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的可逆元全体 [tex=2.286x1.357]VSrq2EBbjY/lzOCsf2jcIg==[/tex] 关于环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的乘法构成群.
- 设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是无零因子的环,[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的子环, 且 [tex=3.286x1.357]Pd1PDhcqZGZ+SPuTqEqZBQ==[/tex] 证明: 当 [tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex] 有单位元时, [tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex] 的单位元就是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的单位元.
- 设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个有单位元（用[tex=0.5x1.0]oYgVDn+QZqcDCRxqEZwM2A==[/tex]表示）的环，[tex=3.143x1.214]jaZMaos6zVCOKtLo+H9F+w==[/tex]证明：如果 [tex=2.286x1.143]6XLDFpbGC81VG9rXBUGstg==[/tex]在[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中有逆元，则[tex=2.286x1.143]oXBfnhsYpkpRkDchPfN9Jg==[/tex]在[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中也有逆元.
- 设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元的有限交换环. 证明: [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的每一个素理想都是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的极大理想.