举一反三
- 设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是有限环, 假设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]没有零因子, 证明: [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是除环.
- 设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元的环. 证明: 环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的可逆元全体 [tex=2.286x1.357]VSrq2EBbjY/lzOCsf2jcIg==[/tex] 关于环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的乘法构成群.
- 设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是无零因子的环,[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的子环, 且 [tex=3.286x1.357]Pd1PDhcqZGZ+SPuTqEqZBQ==[/tex] 证明: 当 [tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex] 有单位元时, [tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex] 的单位元就是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的单位元.
- 设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个有单位元（用[tex=0.5x1.0]oYgVDn+QZqcDCRxqEZwM2A==[/tex]表示）的环，[tex=3.143x1.214]jaZMaos6zVCOKtLo+H9F+w==[/tex]证明：如果 [tex=2.286x1.143]6XLDFpbGC81VG9rXBUGstg==[/tex]在[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中有逆元，则[tex=2.286x1.143]oXBfnhsYpkpRkDchPfN9Jg==[/tex]在[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中也有逆元.
- 设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元的有限交换环. 证明: [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的每一个素理想都是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的极大理想.
内容
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设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个只有有限多个元素的交换环，且[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]没有零因子。证明[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个域。
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设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元的交换环, [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的真理想. 证明: 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的每个不在 [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 中的元素都可逆, 则 [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的唯一的极大理想.
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设[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]是环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]到环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的同构, 证明: [tex=1.571x1.429]WwcGTNxNgqKGUcObs50zWg==[/tex]是环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]到环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的同构.
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证明定理：设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个有单位元的环, [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 上的一个未定元.(1) [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的零元 0 就是[tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex]的零元 (即零多项式);(2) [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 是有单位元的环，且 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的单位元就是 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 的单位元;(3) 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是无零因子环, 则 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 也是无零因子环, 且 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 的单位就是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的单位;(4) 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是交换环，则 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 也是交换环;
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设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是有单位元的环, 证明:[tex=5.929x1.571]SThGLpH9d2j8Zyp+1rNVBbPRnoE8DWZPaNmxgxfzd8s=[/tex]