设有方程[tex=5.571x1.143]VNBrLPu9t9lqbeiSrS/AeQ==[/tex], 其中[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]为正整数. 证明此方程存在唯一正实数根[tex=1.0x1.0]21+hj4YY54jyWx7EkFGz2Q==[/tex], 并证明当[tex=2.5x1.071]akruvsY9xB2wzIkgEzq0Hw==[/tex]时，级数[tex=2.714x3.286]3PXegz5bAQsuTODB0U8KrLYl/3T7u/syctFx2hWd7A556oMBGuOpn28AK2+IMHIG[/tex]收敛.
举一反三
- 证明：前[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]个自然数之和的个位数码不能是 2、4、7、9
- 设[tex=13.571x2.143]r2O+V20G9Gh1dT+Gg3XADfxQjGaqQKjjahEOFhFgMD4b9wY+QXx2QOXlljohyXH3kZ6r5i6V+epst/gqrpTAjR6zk2eNrRTPYP1CscRFqgk=[/tex]，[tex=2.714x1.286]Pkc7C6QVf1dKre8voCflog==[/tex]；（1）当[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]为偶数时，[tex=2.929x1.214]L2xjuReaS65LMHLj+VzGhw==[/tex]；（2）当[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]为奇数时，[tex=1.071x1.214]zZsaUMqMckcqRQH3zIhM4g==[/tex]有惟一的实零点。（3）[tex=2.357x1.214]/LlfwsfOnQMfj3vZ0c5zaQ==[/tex]的实零点记为[tex=7.143x1.357]ziqZRus4ljxCC1Lpg5dtEOSSs55eovk4t5u9RH9fFVg=[/tex]。证明：数列[tex=1.0x1.0]21+hj4YY54jyWx7EkFGz2Q==[/tex] 严格单调减且趋于[tex=1.786x1.071]7uidMTyUqaNF8DgHzh3uhQ==[/tex]。
- 设函数[tex=17.0x1.5]3Qc8zAEodU/NXu/GRWXrWjA+U7BzHxYC9q1rJiEDxXAtMY/8hbCNs0nDXw4B8DhUK+HRgcuSMWGXl6kpCZNjFA==[/tex]（[tex=5.643x1.0]O9qGQWb1YzoOCaRetv+AwVqYli7CsYhCf8ic6LfFqw8=[/tex]为实常数)，证明： (1). 若[tex=3.071x1.214]Iigx1lsMFuJFc9Rt9KemEw==[/tex] 且 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 为奇数，则方程 [tex=3.143x1.357]GaUU+prLnDPZRkTgFIz5aw==[/tex] 至少有一负根。 (2). 若 [tex=3.071x1.214]b7/onK93Rg693Rvz+06n0Q==[/tex] 且 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 为奇数，则方程 [tex=3.143x1.357]GaUU+prLnDPZRkTgFIz5aw==[/tex] 至少有一正根。 (3). 若 [tex=3.071x1.214]b7/onK93Rg693Rvz+06n0Q==[/tex] 且 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 为偶数，则方程 [tex=3.143x1.357]GaUU+prLnDPZRkTgFIz5aw==[/tex] 至少有一个正根和一个负根。
- 对 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]的不同值，分别求出循环群[tex=1.143x1.214]StMMJ6qThnpokZJIPGrdFyP3vrLnUdltYxmLxjw8za8=[/tex]的所有生成元和所有子群。(1) 7; (2) 8; (3)10 ;(4) 14 ; (5) 15 (6) 18 。
- 证明方程 [tex=5.643x2.643]veMIbIHrCKyfJD6p8CsZieV/mC7jauoF+RoXvFL11rxcZNCHFWI1bp9PcV7QjXfuLz8jFJG3FjoRv6p+Zfkmnw==[/tex] 经变换 $x y=u$ 可化为变量分离方程,并由此求解方程：[tex=8.429x1.571]8HRcqzX3v4Y2lj/bxKtUWyTaeJGkmxPo/lnb2KrFyUkh3bTJjq7hgObaU0hI8NF68rCBoV64ntgfXyGigpHhLQ==[/tex]