设[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]是正整数, 域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]的特征为零或与[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]互素. 则多项式[tex=4.786x1.357]m/z0dX/5ln/ylMUosE7OkOmOMx769B2z4pSMWxLEeyk=[/tex]在[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]中的根集[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]阶循环群, 其中[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]是[tex=2.357x1.143]S+IT4HHTaRyh3BoxjagfjA==[/tex]在[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上的分裂域的任一扩域.[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的生成元称为[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]次本原单位根. 换言之, 当[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]的特征为零或与[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]互素, [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]的某一扩域含有[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]次本原单位根.
举一反三
- 设[tex=2.5x1.143]m+NxZMxa5j0Y5ahS4zrePw==[/tex]是正整数, 域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]的特征为零或与[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]互素, [tex=0.5x1.214]qqpHxP43oSTaBTohjVBA4g==[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]次本原单位根且[tex=2.429x1.286]+jb9MvrcvUDYzY/nDSOnmQ==[/tex], [tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex]是[tex=7.429x1.357]lqQ+/xYUEGugZb/JIOOm0AggH9i4I+wu6k8dZAPwULU=[/tex]在[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上的分裂域. 则[tex=5.5x1.357]0pANN1SVkCE/Lw6FMZG+RKL31yqvaMljInBK3Peevr8=[/tex]是循环群; 且当[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]在[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上不可约时, [tex=5.5x1.357]0pANN1SVkCE/Lw6FMZG+RKL31yqvaMljInBK3Peevr8=[/tex]是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]阶循环群.
- [tex=1.929x1.357]dWatJMLI7pN/xzYgReR9Ug==[/tex]中[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]次首 1 不可约多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]称为[tex=2.143x1.357]dWatJMLI7pN/xzYgReR9Ug==[/tex]中的[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]次本原多项式, 如果[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]的某一根[tex=0.643x0.786]cnVwa8IjZzNSEmAUXJ8VCQ==[/tex]是域[tex=2.357x1.357]0VK3/N/fLOoUyml49ohHEw==[/tex]的乘法循环群的生成元. 证明[tex=2.143x1.357]dWatJMLI7pN/xzYgReR9Ug==[/tex]中共有[tex=4.071x2.429]0drReSlpMjMXE1rfRani/DeJvia0KsjFAPcCA14ydQuvAviOTTpbJlfkinpauZHT[/tex]个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]次本原多项式, 其中[tex=2.071x1.357]Q3CGpDoBA3UwvlngA8cIKQ==[/tex]是 Euler 函数 (即[tex=2.071x1.357]Q3CGpDoBA3UwvlngA8cIKQ==[/tex]是小于[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]的正整数中与[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]互素的正整数的个数).
- 求数域[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]上的[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]次多项式[tex=12.286x1.5]s7p0rTN6joblHcegHwNHkMVdUUnorocRZIOJxxBQwRrkSVjVRCs7wdGD5ZaHPcvB[/tex]，使得它的[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]个复根的[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]次幂的和等于0，其中[tex=3.214x1.143]50aB1GEaWNwSwkPtFQSAcu//eLl1yrK/BTsRvxIIlnY=[/tex]。
- [tex=2.143x1.357]dWatJMLI7pN/xzYgReR9Ug==[/tex]中[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]次首 1 不可约多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]称为[tex=2.143x1.357]dWatJMLI7pN/xzYgReR9Ug==[/tex]中的[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]次本原多项式, 如果[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]的某一根[tex=0.643x0.786]cnVwa8IjZzNSEmAUXJ8VCQ==[/tex]是域[tex=2.357x1.357]0VK3/N/fLOoUyml49ohHEw==[/tex]的乘法循环群的生成元.求出[tex=0.643x0.786]cnVwa8IjZzNSEmAUXJ8VCQ==[/tex]在 4 元域上的极小多项式.
- 证明：数域[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]上与所有[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级可逆矩阵可交换的矩阵一定是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级数量矩阵.