设[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]是复数域上一个[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶对称矩阵。证明：存在复数域上一个矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]，使得[tex=3.143x1.143]8egxNzbE9a6/xnN6rjPCUb/MixMCl6JspznmF4VHmdU=[/tex]。

2022-07-28

设[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]是复数域上一个[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶对称矩阵。证明：存在复数域上一个矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]，使得[tex=3.143x1.143]8egxNzbE9a6/xnN6rjPCUb/MixMCl6JspznmF4VHmdU=[/tex]。

答案：

证 设[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]的秩为[tex=0.5x0.786]51EIYuoXo3UTYashe96uEQ==[/tex]，存在复数域上一个可逆矩阵[tex=0.643x1.0]Ft8KOBgb78fnKY0jEt4Rsg==[/tex]，使[tex=19.714x2.857]T9Z+hmG1KCsJaYHIqPzE3kN1Q4wvabwA9n+QbOyNCxxGioTk2RB0knyxkZsSYs3ZTqkAcoOW3UVJdMvVxfFk/B4lOhjK8EPT3jIO0TdXBIGcCH1Q/CFPTO9zlMidrRaitAqyy4ltH0I4Ktfbm0i5bpA5qITjmuQLiDQGwOgP6CryjiIJIiLZ5i64uVUY8wPow4+P6DFN65tY0A+7z08CTD9+tJdL6SIBA8kG7k15q2+gPu39nZItlYiNavIZ83qLvnZZHIhXy4vVj8pUl0/yqk27AmFmLzL1jXuvmZlJiBs=[/tex]，其中[tex=0.786x1.214]DXzCqUwOzWetPe5F0tZBJQ==[/tex]为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]阶单位阵。记[tex=6.714x2.786]HJammJSW6EkxRCluDbVEjqCx+Sx3gVbYMABjN9JANKMGC25pUHaF8GNzB115rhvpBAhVk3kBWE6clQP1gyFLlAG5Z+eos9e68aR0gEr1rvc=[/tex]，[tex=4.0x1.214]XLNBbOrQ2idQOLnSeJkuSQ==[/tex]，于是有[tex=10.357x1.571]hMSFV0DH8MsEV+Fk08U3/2I6DOFYYufq4X487Y4Tlvu3rMrQ3IX80iCvYgKYdKClogtwoYWNfmnaztpsjDwq7q6FHK3l2WLu6aSc1iYrj4Y=[/tex]。

举一反三

内容

0
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶复矩阵, 证明: 存在 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶非异复对称矩阵 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex], 使得 [tex=5.357x1.429]1oK8cY5iBEtLuioZPldUOi8/6oR4qDYDFknMr80IBm8=[/tex]
1
设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶实对称正定矩阵, 证明[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]个互相正交的特征向量[tex=6.857x1.5]1OLDM79a1WnqWkErUXr8P604kgpkEAoDOqD5+BNAsbem5zwUCkpRL26F98rz8e/f[/tex]关于[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]共轭.
2
设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶正定矩阵，[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶实对称矩阵，证明: 存在[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶可逆矩阵[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]，使得[tex=9.143x1.429]XRMmUOtjtKMyseaeIn9jPM1TnNKlMhqAAioUZ3jWn/FX+SyCCFosC01uB/CWa/Kl[/tex], 其中[tex=0.714x1.0]AiT6fhT2pvop+UvpD2oClg==[/tex]为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶对角矩阵。
3
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶复矩阵, 证明: 存在[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶复对称矩阵 [tex=1.929x1.214]HaUvoci5ZgMfh5niP9rsbQ==[/tex], 使得 [tex=3.071x1.0]gOXtqsUVQJgsp+QmYJZYJA==[/tex], 并且可以指定 [tex=1.929x1.214]HaUvoci5ZgMfh5niP9rsbQ==[/tex] 中任何一个为可逆矩阵.
4
设矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]与[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]都是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵，且[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为对称矩阵，证明： [tex=2.643x1.214]RXNYPSeOxp2KYb7ZxErkfA==[/tex]也是对称矩阵。