设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是数域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上一个[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵。证明：存在[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上一个非零多项式[tex=1.857x1.357]sBGRsVJ0Y3fPPi7d5ztPoA==[/tex]，使得[tex=3.571x1.357]OOyEFi5Qx/r8c8gc6BAiHg==[/tex]。

2022-06-01

设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是数域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上一个[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵。证明：存在[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上一个非零多项式[tex=1.857x1.357]sBGRsVJ0Y3fPPi7d5ztPoA==[/tex]，使得[tex=3.571x1.357]OOyEFi5Qx/r8c8gc6BAiHg==[/tex]。

答案：

证 因[tex=4.286x1.357]cTIxMegpaRts564DjIV1FQNAig991/5hSqtmso+1YD0=[/tex]，[tex=6.429x1.5]lBXXZYMMrxJ2+/5vAU9EvV3XFBpoYO0yAHTPzSG1v704Vn9svvB9FkcM2z0OLRCD[/tex]，所以[tex=2.857x1.357]pK2ESY29n1geHZesV8kOqw==[/tex]中任意 [tex=2.286x1.357]fGYMhHdi6HuxjbEXyd67ww==[/tex]个向量线性相关，即存在[tex=2.286x1.357]WgZJtAVD0AWcvzooGHMY2w==[/tex]个不全为零的数[tex=0.929x1.0]3qPNGR07eUO1J0Y27O6C7Q==[/tex]，[tex=0.929x1.0]ulgL/AYT+ICiQZDTncFiIg==[/tex]，[tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex][tex=1.286x1.0]03RugZx195R0zpbOUAawcQ==[/tex]使[tex=10.786x1.5]9UR4JzBZL4ARz4VhuvV02c6HPW3ZYSkxk3cE3vqw3N/cXFEypECDyrEaQE7peFU0[/tex]，亦即有多项式[tex=11.5x1.571]RAlrJ/IVRfx5ov6+pYN7GaJ0vKwI+u8Aj0qc03vsVVATGgL1960a255TpMWoTwRL[/tex]使[tex=3.571x1.357]OOyEFi5Qx/r8c8gc6BAiHg==[/tex]。

举一反三

内容

0
令[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]是数域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上一切满足条件[tex=3.071x1.143]+CJ+ffvGabMplR2gKqgr0nG2iIyWqDEb9iD6W55/zGg=[/tex]的[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]所组成的向量空间，求[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]的维数。
1
证明：数域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上的一个[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]次多项式[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]能被它的导数整除的充分且必要条件是[tex=5.786x1.857]rvxDb4yZzzZueL5VRhZswR53HJzzePuFezIHz054AIA=[/tex]，这里[tex=0.571x0.786]7G1MINzwputr5mgALyjQfA==[/tex]，[tex=0.429x1.0]dX3JVuFw9r8t2KlWf+/Z+A==[/tex]是[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]中的数.
2
设[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]是域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]的有限扩张，证明[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]中存在关于[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]的本原元素的充分必要条件是[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]与[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]间只有有限个中间域。
3
设 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 是数域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上的多项式且次数大于 0, 则 [tex=1.857x1.357]VHvV9DduV1/OkZRTTw1+mg==[/tex] 在 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上不可约的充要条件是: 对 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上任意适合 [tex=6.357x1.357]+3zmuKty1AhSMDB3tNdbXxLJRZTFKVq4xUmyZwpiyJg=[/tex] 的多项式 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 与 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex], 或者 [tex=4.571x1.357]NaXhQuud9whTIdEia7cAy145H6cmmDHeiC85YWZqPkg=[/tex], 或者 [tex=4.286x1.357]Bjm/GfOl5UoUE3/6/N5Bew62HKPUKuqC0HS8DG8f9D4=[/tex]
4
设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是复数域上一个[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶可逆矩阵，证明，[tex=1.714x1.214]w5EFtBL4q9r6pzVY0285fA==[/tex]可以表示成[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的一个复系数多项式。