主对角线上全是１的上三角矩阵称为特殊上三角矩阵．证明：如果对称矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的顺序主子式全不为零，那么一定有一个特殊上三角矩阵[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]使[tex=2.286x1.143]vB636PfIaAtueeIhKgyEvg==[/tex] 成对角形；
举一反三
- 主对角线上全是１ 的上三角矩阵称为特殊上三角矩阵．１） 设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是一对称矩阵，[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]为特殊上三角矩阵，而[tex=3.857x1.143]qPbOPa2llKVdw9JpP1uKuIR3ci6q7f1T05yD8ZrWl+k=[/tex]，证明：[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]与[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]的对应顺序主子式有相同的值；2） 利用以上结果证明定理７的充分性．
- 主对角线上全是 1 的上三角矩阵称为特殊上三角矩阵。1) 设[tex=0.786x1.0]3akNjptD8YqOes80TdtIxQ==[/tex]是一对称矩阵，[tex=0.714x1.286]atrPPistVyxj7cY8rjePCQ==[/tex]为特殊上三角矩阵，而[tex=4.143x1.286]PLCRSlFW4Sk14mtWW+BKsBtFuqskgtDGydPc/trnFAc=[/tex]证明: [tex=0.786x1.0]3akNjptD8YqOes80TdtIxQ==[/tex]与[tex=0.786x1.0]a61fknG/BUErMmZSy5rpDQ==[/tex]的对应顺 序主子式有相同的值;2) 证明：如果对称矩阵[tex=0.786x1.0]3akNjptD8YqOes80TdtIxQ==[/tex]的顺序主子式全不为零，那么一定有一特殊上三角矩阵[tex=0.714x1.286]atrPPistVyxj7cY8rjePCQ==[/tex]使 [tex=2.429x1.286]zzZddfnZtoxVubsao6wtYVRM6est3wOdLSyR6cCaPlA=[/tex]成对角形3）利用以上结果证明：如果矩阵[tex=0.786x1.0]3akNjptD8YqOes80TdtIxQ==[/tex]的顺序主子式全大于零，则[tex=2.714x1.071]B6mWc2kDS8Yfse4NUbBmRWzjsRIeD32AE5fNLGKz4YU=[/tex]是正定二次型。
- 主对角线上全是 1 的上三角形矩阵称为幂玄上三角形矩阵. 设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是一个对称矩阵, [tex=0.643x1.0]iollMFTzm3iqFEHRyKQe1A==[/tex]为幂玄上三角形矩阵,即有: [tex=2.571x1.214]s10h1LAywFFP0ACUWpQegw==[/tex]与[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的对立顺序主子式有相同的值，证明：如果对称矩阵的顺序主子式全不为零, 则存在一幂玄上三角形矩阵[tex=0.643x1.0]iollMFTzm3iqFEHRyKQe1A==[/tex], 使 [tex=2.571x1.214]K1hOHaJFllTcd/edNyuKTw==[/tex] 为对角形.
- 证明：如果[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级正交矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是上三角矩阵，那么[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是对角矩阵，且[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的主对角元为1或-1.
- 主对角线上全是 1 的上三角形矩阵称为幂玄上三角形矩阵. 设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是一个对称矩阵, [tex=0.643x1.0]iollMFTzm3iqFEHRyKQe1A==[/tex]为幂玄上三角形矩阵,证明: [tex=2.571x1.214]s10h1LAywFFP0ACUWpQegw==[/tex]与[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的对立顺序主子式有相同的值;