主对角线上全是１的上三角矩阵称为特殊上三角矩阵．证明：如果对称矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的顺序主子式全不为零，那么一定有一个特殊上三角矩阵[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]使[tex=2.286x1.143]vB636PfIaAtueeIhKgyEvg==[/tex] 成对角形；

2022-06-26

主对角线上全是１的上三角矩阵称为特殊上三角矩阵．证明：如果对称矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的顺序主子式全不为零，那么一定有一个特殊上三角矩阵[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]使[tex=2.286x1.143]vB636PfIaAtueeIhKgyEvg==[/tex] 成对角形；

答案：

证：设n 级对称矩阵[tex=3.429x1.357]p/E3osFPodE/Y04UhQn/kA==[/tex]，因[tex=3.071x1.214]zvOb2poD19A4z+uZNNgHFg==[/tex]，同时对A 的第一行和第一列进行相同的第三种初等变换，可以化成[tex=10.357x5.214]dEdrC9SQsN/3Vx39SaFo4ID8IZNv77rP7xRuf/Uo639tm0qNS/XEgd4wD6zbrniiTBIi+/0asab44BpK8NzPeMwlB5fIXUs84niRq/cXJGpM5tPDtrapahtsv3/j7Hfi9/s8e2yuw5mdg5XaUFY3xuz7UwtprTemPB4y2XRMlR//qRAu/YCUstKZfNYlr8xcg0SbqK7x/vON2kjMwlyPQhjMOm+BNz+7PIURvM3Z0Vs=[/tex],令[tex=11.571x4.071]Hc4KgP8ZbnxaLZoRqW49jGhkQ3hsJCOCV/SjA80rM0ZPH5ds7/Cauxre9JR1P8KxJaH/i8nJrD7ZrYrsAK2YHl2Ea1FLs8J2LkU8alUxIWvYu8zLM5dvHRgdDGh4wk7Xcp33Az/Y4Zp0BGlbDA3KJ+rnNIzqacl0sNXBECtyJhzheCdvVQLjy/Tim/csIMfs[/tex]因为[tex=6.857x2.786]Uyz5s0rmQIddjb5Jc2T/YXJdo16ocJnGXWj60V1IRW+PgPZczIacUEN5k2/3p1Gf5UK6hbjw6eU+OfhcsVOlipJnaYd6nEoyqvd8tERiMsA=[/tex]，从而 [tex=3.0x1.214]YZa50mS6PO3GeIN6rYeGIQ==[/tex]，这样可以对 [tex=2.143x1.214]PKp80U4e4X3bKvRecLWoUw==[/tex]进行类似的初等变换，使第二行第二列中除[tex=1.143x1.214]xTaD0G7heKVwFJ601QzFhw==[/tex]外其余都化成零，如此继续下去，经过若干次行列 同时进行的第三种初等变换，可以将[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]化成对角形[tex=10.286x5.357]dEdrC9SQsN/3Vx39SaFo4Cuwnt/X0gHODZMfr6/VIboeFarYbcRnwsa8NKFPIGZAkLJeJQbJQGyJrjsm3GrYynAO1EzVQh3ze66DBxzkvxJlfcpRO0EWU4narRVLROBwfxIIqz7TgX1GxpeO318dB+MN6MVq9Jo1WNgX6LrynwSmOL8KHtetTY8y7msJra75[/tex]由于每进行一次行列的第三种变换，相当于右乘一个上三角矩阵 [tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]，左乘一个 [tex=1.0x1.143]BW/tzkalTvKmOoD6BTmayw==[/tex]，而上三角矩阵之积仍为上三角矩阵，故命题得 证．

举一反三

内容

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证明：如果数域[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]上[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级对称矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的顺序主子式全不为0，那么存在[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]上主对角元全为1的上三角矩阵[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]与主对角元全不为0的对角矩阵[tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex]，使得[tex=4.214x1.143]gdq/daeB4gLJDSyW2xB5BRk/ecdE1RWzda9qZg0tjoU=[/tex]；并且[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的这种分解式是唯一的。
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证明下列关于 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵 [tex=3.571x1.357]7K89EAiqbgRkVf5frr2x25+2ay1ha16/s2MrqtRX+/U=[/tex] 的命题等价:(1) [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是正定阵;(2) 存在主对角线上元素全等于 1 的上三角矩阵 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex], 使 [tex=4.214x1.143]rBiqGaSDVnQOpJm3gHRQduX6byHelpj3JKtBTHuEcoE=[/tex], 其中 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 是正定对角矩阵;(3) 存在主对角线上元素全为正的上三角矩阵 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex], 使 [tex=3.429x1.143]hxFWgRCv5aAQupvKU7mh2X67EnHzc+kizXjoVHgcPDY=[/tex]
2
证明：如果正交矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是上三角矩阵，则[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]一定是对角矩阵并且其主对角元是[tex=3.143x1.286]UpgPA2CfJTcngsFpB0J45Q==[/tex].
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证明下列关于 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵 [tex=3.571x1.357]7K89EAiqbgRkVf5frr2x25+2ay1ha16/s2MrqtRX+/U=[/tex] 的命题等价:(1) [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是半正定阵;(2) 存在主对角线上元素全等于 1 的上三角矩阵 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex], 使 [tex=4.214x1.143]rBiqGaSDVnQOpJm3gHRQduX6byHelpj3JKtBTHuEcoE=[/tex], 其中 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 是半正定对角矩阵;(3) 存在主对角线上元素全为非负实数的上三角矩阵 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex], 使 [tex=3.571x1.143]hxFWgRCv5aAQupvKU7mh2beLYIJKHZGJzzikFX5cknU=[/tex]
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证明：对任一[tex=2.429x1.071]jLyhB8GAUqIuDKvKM/p5zw==[/tex]复系数矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex] ，存在可逆矩阵[tex=0.643x1.0]awBC2UvU2WxG45VihksPuw==[/tex]，使[tex=3.0x1.214]rN84CqmtCk5MRAP5g+8tJQ==[/tex]是上三角矩阵．