证明：如果[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级正交矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是上三角矩阵，那么[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是对角矩阵，且[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的主对角元为1或-1.

2022-06-29

证明：如果[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级正交矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是上三角矩阵，那么[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是对角矩阵，且[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的主对角元为1或-1.

答案：

证明：设[tex=3.571x1.357]aVLZXZOyFvu0YW8S/Fna3xaGJnoK5u4oKwxFaralEcU=[/tex]的列向量组是[tex=5.857x1.0]qulE2au0sCsC2RUF6/a3Jzvc72/Ojlqjke3MkB3mi/ocVm1zbQVoiZ3n4s0Tg+DcwEVsEur4qrCKlV4KtJmtiSgR9N4Y+2ZurE/OApVXerU2x+ONQFqdyaOES9xKIEk+U5lh1kFCanTNBiIP1mwdyg==[/tex].由于[tex=4.786x1.357]0idGSV3RW/tbV3escumNdChG2/F+CvVH9/u2QfuuwUq1AZy5uB4KFgpnER4EaStW+Uw+hs520LATccqVSsMj1Q==[/tex]，因此[tex=3.786x1.214]wagPYqk9ZJtDdJsfY6hDPA==[/tex]，由于[tex=9.929x1.357]0idGSV3RW/tbV3escumNdChG2/F+CvVH9/u2QfuuwUq1AZy5uB4KFgpnER4EaStWQRbIAgeM2AxIHEJQSaecaH0CaaYJ4qhZ4Mpe0PZYDXlDowPNHzLBt+Gp9iBIQxv7lmJk3vafRxoTps306PIPO70WF37cWnXlYtQH40Ouog0=[/tex]，因此[tex=7.929x1.5]xwtlKC8ndeNcvAQHqzc3JsC6mQZ5mK04vgOkHFBFjF9/efZ/Olq3J2tw6vV8u+NR[/tex].由此得出，[tex=6.571x1.214]fAhwEjxzm+lLJe0Ere3i0val4LvAbz/tfs+bcyteG+A=[/tex].由于[tex=15.071x1.357]0idGSV3RW/tbV3escumNdChG2/F+CvVH9/u2QfuuwUq1AZy5uB4KFgpnER4EaStWjSXG0GvaJUqxKHEHFMl8O8oBWkUJNaqIw4yaRUpVQ5PLRlCXhDTPSaDWzxA6zfVUQhhvBsXGYeG08LHlRoa/DYFUoNoKmYSHLuLOMjvLndOooeKb7K3ouuZSg7QeS9r6o/G0PV89xZFVRS22A2lccbUsO7O9+CLc23rhpgs2Y9bndHTblCTZ32flUt1Lg2BZ[/tex]，因此[tex=13.643x1.5]Se+y65gNOfKxqkC6gTqsS4iepc3tE6K/60scLmXK5zBFaWyJrd/YKcktapDr3odPbx6Pk7cdCREGKugxHsXZ06/t9Smr2nNFjRyA3PbAU1g=[/tex].由此得出，[tex=9.357x1.214]3ZV8UTbu1o1g8kUKjTdqgwVB/hRT8mjQsMutxevOPNb+qPpMTuCGfY4UzrMe2pOB[/tex].依次下去，可得[tex=14.143x1.286]v+A7vZ/HrdQvPSFh8sjXJn9X+rxuqTNffe/bag/uSeyexZpPzxK3nKikNWG3QZKfe3bIS45BvbAqraiwRwOgiw==[/tex]，其中[tex=5.357x1.214]zsRJnXAsAyYPANKzXoDiLNy6x4+1Rw/jbEf2zfE1gFE=[/tex].因此[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是主对角元[tex=1.286x1.143]HrCE3U5S6kf+Fyz8foXCYQ==[/tex]的对角矩阵.

举一反三

内容

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证明：如果数域[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]上[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级对称矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的顺序主子式全不为0，那么存在[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]上主对角元全为1的上三角矩阵[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]与主对角元全不为0的对角矩阵[tex=0.857x1.0]m2DKAQtGuc1DyN3zyNlILg==[/tex]，使得[tex=4.214x1.143]gdq/daeB4gLJDSyW2xB5BRk/ecdE1RWzda9qZg0tjoU=[/tex]；并且[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的这种分解式是唯一的。
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设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是一个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级矩阵，证明：１） [tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是反对称矩阵当且仅当对任一[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]维向量[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex]，有[tex=4.0x1.143]rLVONmXxLnhl8YaM4UacI9oY4xHCd5UxvQ2cXFY3Iyc=[/tex]；２）如果[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是对称矩阵，且对任一个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]维向量[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex] ，有[tex=4.0x1.143]rLVONmXxLnhl8YaM4UacI9oY4xHCd5UxvQ2cXFY3Iyc=[/tex]，那么[tex=2.071x1.0]P1sZi5Sh6qXV+PX80otJJg==[/tex]．
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设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是实数域上的[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级矩阵证明：如果[tex=2.643x1.357]xnNlsIp2wAAq+OkAnU/oIQ==[/tex]，且[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的每一个元素等于它自己的代数余子式，那么[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是正交矩阵.
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设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是实数域上的[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级矩阵。证明：如果[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的所有顺序主子式都大于0，且[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的所有非主对角元都小于0，那么[tex=1.714x1.214]d+9NDUvA5ZDrRGeFW5fxcQ==[/tex]的每个元素都大于0.
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证明：如果[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级矩阵[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的相似类里只有一个元素，那么[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]一定是数量矩阵.