设矩阵A为m×n矩阵，B为n阶矩阵.已知r(A)=n，试证：（1）若AB=O，则B=O；（2）若AB=A，则B=E.
（1）设[tex=9.214x1.357]MVsnGUDjteIUZsyQP8wk5jGr1EmN/ov1xVDNpv0hUY9W8+kOPSOdqZbX1rgg1qlVTpUa1OqdRRddAHixzWQ75fud3Vr6w4296tFQKvzB1IAZjl1hZLtVknHKqaCv333i[/tex]，因AB=O，[tex=7.5x1.357]U9s0BBfTC9alh/yBPBgcziyBimvd84Doe2CrAFAinO8mnQUZuS6CvyYvWDzObjn3[/tex]为Ax=0的解.又因为r(A)=r(B)=n（B为Ax=0的增广矩阵），所以Ax=0只有零解，即[tex=8.857x1.357]U9s0BBfTC9alh/yBPBgcztfHPShWzEKRTvOxXz54BJ9JYSH2DW3XoeM+4i76ZUCC[/tex].（2）因为AB=A，故A(B-E)=O，利用（1）结论，r(A)=n，所以B-E=O，即B=E.
举一反三
- 设A为n介矩阵,B为n*m矩阵,若R（B)=n,且AB=O,则R(A)为
- 设\( A \)为\( m \times n \)矩阵，\( B \)为\( n \times k \)矩阵，若\( AB = O \)，则\( R(A) + R(B) \le n \).
- 设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则
- A，B为n阶可逆矩阵，若AB=BA，则(AB)-1=A-1B-1．A，B为n阶可逆矩阵，则(AB)-1=A-1B-1?
- 设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则（）. A: r（A）=m，r（B）=m B: r（A）=m，r（B）=n C: r（A）=n，r（B）=m D: r（A）=n，r（B）=n
内容
- 0
设\(A\)为\(m \times n\)矩阵，\(B\)为\(n \times m\)矩阵，\(E\)为 \(m\)阶单位矩阵，若\(AB=E\)，则 A: \(R(A)=m, R(B)=m\) B: \(R(A)=m, R(B)=n\) C: \(R(A)=n, R(B)=m\) D: \(R(A)=n, R(B)=n\)
- 1
设A为m×n阶矩阵，B为n×m阶矩阵，且m>n，令r(AB)=r，则( )． A: r>m B: r=m C: rD．r≥m
- 2
设A为m×n矩阵，B为n×，n矩阵，若AB=E，则( ) A: r(A)=m，r(B)=m B: r(A)=m，r(B)=n C: r(A)=n,r(B)=m D: r(A)=n，r(B)=n
- 3
设A,B是n阶矩阵,O为n阶零矩阵,则下列正确的是( ) A: AB=O⟺ A=O且B=O B: A=O⟺ |A|=0 C: |AB|=0⟺ |A|=0或|B|=0 D: |A|=1⟺ A=E
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设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB＝E，则（）。 A: r（A）＝m，r（B）＝m B: r（A）＝m，r（B）＝n C: r（A）＝n，r（B）＝m D: r（A）＝n，r（B）＝n