设 [tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵, 若 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 有 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 个不同的特征值且 [tex=3.857x1.0]ooePFz0xjtusf6vpqQWa8A==[/tex], 求 证: [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 相似于对角矩阵.
证法 1 (几何方法) 因为 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 有 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 个不同的特征值, 故 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可对角化. 令 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 是复 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维列向量空间, 将 [tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex] 看成是 [tex=0.643x1.0]jro2X/cRz2SsmjZvcOdvsQ==[/tex] 上的线性变换. 又设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的特征值为 [tex=6.071x1.214]oNH2de8I1XfFs1vBi4Ose/m3xb4ZXIOWJL213dkS9obPChOXrdbzBvMvsW+45C7mYwi9I8vcQv8/tJbtWFckTg==[/tex] 相应的特征向量为 [tex=5.929x1.0]7pNelk4HUVBg38zOC/iSU88HyqryjOXVFLrLi0G37BtcxTnu1p5B872P8E8tN3TH[/tex], 则 [tex=0.857x1.214]l/wl2ydXQlBxRZnkz9EaVQ==[/tex] 的特征子空间 [tex=9.714x1.357]1CVYsPLxUhpV0FgoJoVH7ztVDRskUQmLkjqmGDinWmeODzQB5mIAUoDBztmBvYtNTMg3+SKug1CF818wofQkyA==[/tex] 且 [tex=9.5x1.214]iB9xfbM4GB9yfO9TGkATYrJiHa3mblMCbUxq26JXGxFBN2XHE+IMDABs2aacno5RVynhfAhcnUfx1rFDKw5jkQ==[/tex]注意到[tex=16.357x1.357]uOF70QM9sMyIt9pC+lCbe/KK0kFW/oxlOiVB9iFAqgcpcGnAt1yBsWqGLWhEoT6rVGBnaDOxYIf6b7cmqvc+RM6/T+0q/99ajx7Hqq1U4ODkNrk08q6XF6FyCeL1XxAPsK7dc56SLLxm4FmTRd6qHLs3ufUdj55U29I9LBlM4cEn6uHJMWdg9SdWxknmECHU[/tex]即 [tex=3.143x1.214]8trPHtz4hJwBxhJYV4Hd8aN1R2XMlFxqTTvt4HRYnY8=[/tex], 从而 [tex=0.857x1.214]cwRVu8HBwDHmaiBxi9Ne3Q==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 的不变子空间。将 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 限制在 [tex=0.857x1.214]cwRVu8HBwDHmaiBxi9Ne3Q==[/tex] 上, 这是一维线性空间 [tex=0.857x1.214]cwRVu8HBwDHmaiBxi9Ne3Q==[/tex] 上的线性变换, 从而只能是数乘变换, 即存在 [tex=0.857x1.0]e+JN376wxZ8blToR72WSJA==[/tex], 使得 [tex=4.143x1.214]c+DAHm68osv7kIOAiAuAwj7DmEcxAT6Xg8sWKPmlOUAkKs29ggUW9iDYcv+fbd5R[/tex], 于 是 [tex=6.357x1.357]plt+VIzL0reXE1RDBr7JOfP4CV/t7YW1SBL7bGZCbPQ=[/tex] 也是 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 的特征向量. 由此可见, [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 有 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 个线性无关的特征向量, 从而 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 可对角化. 事实上, 我们得到了一个更强的结果: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 和 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 可同时对角化, 即存在可逆矩阵 [tex=8.357x1.357]PSKM2EzTmjyfg0MypLY7soxhZWAT/J+XE64C7C2VFwl2eCiG0YaOEAoaPs86ixJbJvwwQX3VnblbQ2EQ7hcmL52va53OhDSQxdPerrBQUDg=[/tex], 使 [tex=12.857x1.5]EVs3+N2aDaLj4KgSWud/7JUTJ1u1nxlsJCquHo7Q87ibR1C8uz9syaLLE6qU0lI0+Ne4thavVgLLYntJeDW4Y2V8XvIUK/YKk3l+1MsY8aUK2R/ob9xQvgrvWDNWSI1t[/tex]和 [tex=12.929x1.5]kQ5tYGaQrxzJCZkESBkPR1xXE5cXOm9sySxDmlpQyMBHaXGcPWfEeWqSaP05sjf/adgoru43GPHEG6ujL31Otn/7Ma2HsYuyEmeFCcu61+dOUtLjcnA0r7aburBXjntm[/tex] 都是对角矩阵.证法 2 (代数方法) 因为 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可对角化, 存在可逆矩阵 [tex=0.643x1.0]WUJ/JHItsc3Bqx1WYNJcrg==[/tex], 使 [tex=13.643x1.5]9GSR10llqatZs7hrwVvF5A+A02veaCuESx0gA10uyJ0qzyQ186CFb/RGczBr0Usfhk7Fw6bDZuAOqLmxru27AwzREMsOZInIJv2Vve2lTHDE9foDrVuq5Gsb2oYehFuT8gLCuYUdwJtDcoJJzPR45w==[/tex]. 由 [tex=3.857x1.0]M9rQvfhGD5Rd9PNzTpEW+Q==[/tex], 得[tex=25.214x1.5]0kTp7HqQZFhJmncokBhoCDjsaM6d3msNCpYC5ajZoXzNHizTbIVEl23PJV4tTKlcaNUjirGusoRwO/mgJPqHkktPTeemTfcffgs4w9yi0PAWMsKDUbC4HAPZt2j9P7IKXqjVBxzsQorv0xYLbfjwJd0avbOuuHp5SO1aFHVqIT24Q5JopjgFKDKyQ1p4rqr+eMcfIzIAVVgQbmVxMNzANxS6mppMHfsTh/KHODwC268PHeKteRKCJIjeG+15qDrb[/tex]或[tex=24.857x1.5]79Wd/JsaQKi3RBB3vwr83y1zMyTR38+gCgqdDp7khlpTMXejn3MkIOj0/z1jVh28YuAX8D6ogv6DWAtmJ4hMxQDIIBRVAgUq/RAWYlzfT+QBGqLxPF8Bu1E0fkAIwMRKNWmdDn9JhMoELBZ+ZRRfi6GAisHdzba+eMwd3X3DgLicSTtaGbCmglJZk6bWIavEGhz5ZFraGeB3roY5U9/u1U3isX6DlgUCDesFmRV+S5RIyA5ZDnwmPdDnBFPJ1iuJ[/tex]由于 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 和 [tex=3.143x1.214]qZgTGP5DQzG4ARuGL705/w==[/tex] 相似，上式表明问题可以归结为假定 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是对角矩阵. 现设 [tex=10.929x1.357]nvISsux7QOju5+/gvskxlJShWvPo5LZFu8/nrTo6fsW8GWe/nouPSqPJh0bvB7YZ7o4r2i9zZ2Oj6Bt/THzjqX51HGCKG5ywZmps8UEB+HfoeRuQdadnKWQwgjhxGmyc[/tex][tex=12.429x5.357]HJammJSW6EkxRCluDbVEjleQAcFLISd76pcbJeCFQ20Ar7F/6UfXRnWOk1YkSKX1Ox9ru8ISNbEMdgYqlrzkCb/pTMqVSZ/81ZQJSpj7V8G3b37nie+G9lQK+YXUbyTHxeJgGjOq8eXs64WkzGivKT5JsjRECKDHORj9kRlHNpWb1SvsUXtAhCA4c+qzC/NHsRwVWfQ78QR5MsQezDvj74tCPJMayuXyKNd0VnFEVu0HLJ2eR7b4E4Vv+NiQxQdlL21NiuF5D2xAoDoPVdKefA==[/tex]则[tex=24.357x5.357]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[/tex]而 [tex=24.429x5.357]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[/tex]比较元素得 [tex=4.714x1.286]a8g4iUWlV8vgY6Ie6+qgKPJvA0VGeUlxiIhz3znez1Vz8SL0Vcs51EG45P4ks2Mo[/tex] 对任意的 [tex=2.143x1.214]XrDWhwB10ri9tFIK97tU8g==[/tex], 因为 [tex=3.071x1.286]04Z5SUKvwI2M7vOmt4caJyY4FKNhnphGiu2tr6jp5dQ=[/tex], 所以得 [tex=5.143x1.357]/jn74aTiGrNBLgo1YLlbOZgnAq7mrstG+qTY2VBn0GQ=[/tex], 即 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 必是对角矩阵.
举一反三
- 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵且有 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 个不同的特征值，若 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 也是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 且 [tex=3.857x1.0]ooePFz0xjtusf6vpqQWa8A==[/tex], 求证: 存在次数不超过 [tex=1.929x1.143]qMmLG3OT6I+UYFeehawKuA==[/tex] 的多项式 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex], 使 [tex=3.857x1.357]XcfmjFeCm4NAC3RIoBAlfg==[/tex]
- 若矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 次幂零矩阵, 即 [tex=2.786x1.0]t6ogScZVzQ6nmR7J34fx7Q==[/tex] 但 [tex=4.5x1.429]LeMsK/GHf6ch8ZOCybGouXwgjeQprbWyKA1XUXYVQGI=[/tex] 如果 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 也是同阶 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 次幂零矩阵, 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 相似于 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex].
- 求满足以下条件的所有[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] :[tex=3.857x1.0]tNiosWebdYcf0C8jjboJyA==[/tex].这里[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]是任意[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶矩阵
- 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵，[tex=6.357x1.214]ktGtmiDKstx7m1f25N9jwZT5aYsjOrhIKRDobbavw6Q=[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 个特征值，求行列式 [tex=3.357x1.357]m48DvRt0hjjMuVqGpYAvJg==[/tex] 的值.
- 设 [tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex] 都是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵. 且 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是正定的. 试证 [tex=1.571x1.0]mCjAngcIqtveplNftuY0BQ==[/tex] 相似于对角矩阵. 又若 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 也是正定的, 则 [tex=1.571x1.0]mCjAngcIqtveplNftuY0BQ==[/tex] 的特征值为正实数.
内容
- 0
设 [tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex] 为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵，且[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为对称矩阵，证明 [tex=2.714x1.0]DxwbvStVdvuC7mTHegGPzg==[/tex] 也是对称矩阵。
- 1
当 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 适合条件 ( ) 时，它必相似于对角阵. 未知类型：{'options': ['[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0有\xa0[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]\xa0个不同的特征向富', '[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0是上二角矩阵', '[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0有\xa0[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]\xa0个不同的特征值', '[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0是可逆矩阵'], 'type': 102}
- 2
设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶正定矩阵，[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶实对称矩阵，证明: 存在[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶可逆矩阵[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]，使得[tex=9.143x1.429]XRMmUOtjtKMyseaeIn9jPM1TnNKlMhqAAioUZ3jWn/FX+SyCCFosC01uB/CWa/Kl[/tex], 其中[tex=0.714x1.0]AiT6fhT2pvop+UvpD2oClg==[/tex]为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶对角矩阵。
- 3
求证: 若 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 有 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]个互不相同的特征值, 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的特征多项式 和极小多项式相等.
- 4
设[tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex] 为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶可逆矩阵，且[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]与 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]合同，证明[tex=1.714x1.214]iQ/iEbsDm/5Je+BSznZxUQ==[/tex] 与 [tex=1.786x1.214]Qt6lpJXIEiDdK5daF/+x2g==[/tex] 合同.