有一底半径为 1单位、高为 3 单位的圆柱形水桶,在桶壁上距离底高为 1 单位处有两相对的小孔,小孔连线与轴线相交. 问:水桶最多能装多少水?
取坐标系如图所示,使[tex=1.357x1.0]S2HjgfhvU/st1TgHd2qjhA==[/tex]轴与 [tex=2.0x1.214]p/fPb4cKwKYaAJ8NhtZPtw==[/tex] 两孔连接平行,则水桶直立时，只能装水 [tex=0.571x0.786]N02a8LR+X7uadF7bDYMkPA==[/tex] 单位. 若将水桶倾斜. 保持两孔在一水平面 上,则水桶可能多装水. 调整水桶倾斜度,求出某一值时装水量最多. 可知，两小孔为 [tex=9.071x1.357]bJ/3pXf3gqIv15fzHEGbZi9gq2N+RkxEpviXLfJe/J8=[/tex]过 [tex=2.0x1.214]p/fPb4cKwKYaAJ8NhtZPtw==[/tex]的直线方程为[tex=4.286x1.214]wd9OGJoakU/yyorCcD42PQ==[/tex]过[tex=1.571x1.0]H/+/tjMT6G7bDjni13g9xw==[/tex] 的倾 斜面方程为[tex=8.5x1.214]4Wt14bfXfuHsiiOTvrEVKJ8BLbEHHCQlulvyLxRR70Ud1952H/FmsCsZeJAfFuHW[/tex] 设倾斜面以下部分体积为[tex=1.929x1.357]7aci6nCLWz29qGgPZN3R+Q==[/tex] 当 [tex=4.214x1.143]N3feGTb3vBtURSKKewcGC8PO7PEjLAt8NQ4NVD2zFcI=[/tex] 时,倾斜面为植圆面[tex=8.5x1.429]DuMOJW/S/GnRx/nZatcElz900TjzNY4uV6YG7I03OeA2RvPcNFzGratov0bBi0jD[/tex] 在 [tex=1.857x1.214]nAEmrV1xNU+s/WvPmQ9wpw==[/tex]平面上投影 [tex=1.714x1.357]xFQPr2vnkJk7mgn09gwc7KMV94qgN3bAu4sW7JfMtpU=[/tex] 为[tex=7.0x1.429]DuMOJW/S/GnRx/nZatcEl/A8nMpFuWNURgaBKbh/FSc=[/tex] 于是 [tex=11.429x2.786]xoCnN2mqeyOgvHwcKNot9o/YIMEk+W8/oB1eN662yOB5fuuBuNbs55VhgZVgYCc6BlwK6+vyOsvZRxDaIL11zh+AgJ7sed9HwwDhJQjbiuc=[/tex](由奇偶性）[tex=7.5x2.786]nT8+DK7/ucfkGAncFSYpOjYkQHkMdSt59wlnCOjnIEeEfk4XLBHJAPs5wJYInpMnLfI5ZHxF+Z39iO+hLJj3Xg==[/tex]当 [tex=4.214x1.143]KYYGQsEIfQQk9a3rlSOQd1Fl326Oq29ZS3YaT17fj2I=[/tex] 时倾斜面为残椭圆面 [tex=16.643x2.786]DuMOJW/S/GnRx/nZatcElyf6f0Xv7TQ8Zue17NOZ81Zyzlqba+ll9SGY+TYcXndTa0XmrV7z8/pj0+PA3ZkfIXPc/J8ZEO/ZtqLC5kPiDAc=[/tex] 在 [tex=1.857x1.214]aTSwp8Sancq2qc9NR+eTGw==[/tex] 平面上投影[tex=1.714x1.357]Yf3QVEwoNsYWOcLfOFFdIMZyrCSQVQ3dtEqH7D+NXw0=[/tex] 为 [tex=14.857x2.786]DuMOJW/S/GnRx/nZatcElyf6f0Xv7TQ8Zue17NOZ81Zyzlqba+ll9SGY+TYcXndTa0XmrV7z8/pj0+PA3ZkfIQvrtK1VpIC9UtRmMOCZpg4=[/tex]于是[tex=23.286x3.214]yHyQNse3JUqAQd+NuUUdWigWWJN9GU8ZeNvqyTlmPntYKb3ilpeMgqzGZeP/655RyPIBCQDLR0VWsjS/b2R4+9CQM1XIdF9V8u/085UpTagouHHJkL5nFVIRVR5REG/VpUd0mhHE7kZzIikJUPoAkuf9WAf++tXJrJSH+n+uPFpIOa86ofof5PzDpwRgiQIx1Y7tmbtpLYyJeAbPI4FmR+bK3EJDu2aR6OOIRS0pxhc=[/tex][tex=10.643x3.0]x8cQg/8YCj7uJIdtd2pbsWf+rddu5982xFYSJRgCZa5/hflntfoQHt9w1B8sDnMfF0JweGmdQaSP2sTkCv+AdQ==[/tex][tex=18.786x3.214]KXk8/ya5jRs2kNpmcDzFJI74SkU78MoDb5iO7Px/lNCUcOT1/n32+qhg0kiseyeyTV0tgzCkN8qXC8/tZ0A/ZcBenmdPVcmKwIdfyqbySt3E5pZOlwI7+mLvSS4a2FF67AFOtdP1JhISdYqObCEjfuWSobaGbzzSKqFt4MIVZBo=[/tex][tex=15.929x2.786]8IrHn2y49jzkSPWSMkMrLrD/tLscb1+qLDqEl6toK1nr+OEiCB3Y6YCycBbecnMJoRhyzA1QZ6tB33PvBJpA+QpPQopEKnlunZbN2tgipJEFiLr0Nb3Qzy1iFz9h8TpN[/tex]从而得[tex=25.143x4.5]jL2PirKyxWgsN8x6bNMjTkFYZExETI6q3EYNawZymEN7g7s2/gsEgdTNTL1UPCJoAjIdkoT1yjuOY5oKc3fwrOykvnPTUElwzM21yaXlJ+9IRHzsmNTsAwFgpCjCYOklb4tVDqPj41YcSHH1uh+DeFV3uUDwF9zYPpKcddjlh8Re6uWOIt9ijXFreohZ94firTQyeh7SzKdL/fnMZ4FHmbpaZb/Y9twftkp+xI0jPceOOJwH9MQZj4aodlffxGiGn5G8DMIEH9nutWLk7L+hlQ==[/tex]求[tex=1.929x1.357]7aci6nCLWz29qGgPZN3R+Q==[/tex]的极值. 在 [tex=4.214x1.143]Ibp4vmS+O9AKXt3XiAFuLA==[/tex]上对 [tex=1.929x1.357]7aci6nCLWz29qGgPZN3R+Q==[/tex]关于 [tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]求导,得 [tex=9.929x3.071]dtpXoShkZj5Oq8oPgCeTHaOSJaVbzaD1C29EG4kFcY3cvrtpi6jksWMAXPzBGR+syFPd389LayQG7hvdQgTf0LUzlApkRie+s+TVz274Pxo=[/tex]所以 [tex=2.286x1.357]/gzVA4bTzvZR7mc3jhyPuA==[/tex] 在 [tex=4.214x1.143]Ibp4vmS+O9AKXt3XiAFuLA==[/tex]上单调增加 [tex=3.5x1.357]x65vNm/BObUD3jI+GAEsXw==[/tex]取极大值. [tex=15.786x2.786]/mG1JKOxiU0TONZ9ZwtztszafPk+JIlSf/0ngdRukQRbvJPDNYak4Yv2zvquPA732T28Y0xnTuWit4dMhxoOnPnHTD45gIOIxRaFquzAnFT11HmwJxtj1WDSf+hXDHF9[/tex][tex=10.429x2.643]NlVriTh83sTASJhf0oImP584HAcpk9p5F5gBotKqjFbrQyF4u+dAChghUVYz5B3AM+/IboQ2rSiBAoot+MslVw==[/tex]所以,桶的最大盛水量为 [tex=4.571x2.643]Zm5hSiIK0JpfpVSPRm/RgDFHGJI6/spQgsQjF91riTBc9aDZtoaUki3PVKSnr0Hm[/tex] (单位) [img=167x233]178cec3eaf405b6.png[/img]
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举一反三
- 有一水桶，桶内水深为0.50 m, 桶底有一面积为 [tex=3.0x1.214]HOqxHSoUVwTaCM8yPMay5g==[/tex]的小孔，桶的横截面比小孔大得多.将桶架高后,求在水桶下方多少距离处,水流横截面面积变为孔面积的一半?
- 一个直立的高为2，底面半径为1的圆柱形水桶，注满水，圆柱桶侧面所受的水压力为( ) 未知类型：{'options': ['', '', '', ''], 'type': 102}
- 有一水桶，桶内水深为0.50 m, 桶底有一面积为[tex=3.0x1.214]HOqxHSoUVwTaCM8yPMay5g==[/tex]的小孔，桶的横截面比小孔大得多.将桶架高后,求水的流量
- 有一个圆柱形水桶.其底面半径为15cm,高为40cm,将其装满倒入一个底面边长为30cm的正四棱柱形水桶,倒满后圆柱形水桶中还剩10cm高的水.问这四棱柱形水桶的高.
- 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水。设桶底半径为R，水的比重为，求桶的一端面上所受的压力( )
内容
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一个底面半径为5厘米，高为28厘米圆柱形水桶装满水，另一个圆锥形空水桶，它的上口周长为56.52厘米，现在把圆柱形水桶里的水往圆锥形水桶里倒，当圆锥形水桶装满时，圆柱形水桶里还剩下13厘米高的水，求圆锥形水桶的高（结果保留两位小数）．
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智慧职教: 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水。设桶底半径为R，水的比重为，求桶的一端面上所受的压力( ) 50cf375d1d19d1283405a05a6bc5c394
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高为 18cm，底圆半径为6cm 的正圆锥形漏斗，其内盛满了水。下面接一只半径为5cm的圆柱形水桶，水从漏斗中流入桶内。问当漏斗水深为12cm，且它的水面下降速率为1cm/s时，桶内水面上升的速率是多少?
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中国大学MOOC: 一圆形水桶，高度为0.7米，底面积60平方厘米，桶中装满了水．现打开桶底部面积为1.0平方厘米的泄水小孔，使桶中的水流出．桶中水全部流尽需要的时间为 s．
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在一 直径很大的圆柱形水桶壁的近底部处有一直径为[tex=2.714x1.0]hYVYAP7lXoec62Il5bQirg==[/tex]的小孔,桶内水的深度为[tex=3.0x1.0]plK9qdl/D74k1whWUb7O9g==[/tex]求:此时从小孔中流出的体积流量[tex=1.429x1.214]EIqKR+YiWmuHYHtcBNFLxA==[/tex]