设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶正定实对称阵, 求证:[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的所有主子式全大于零, 特别, [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的主对角线上的元素全大于零

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2022-06-18

设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶正定实对称阵, 求证:[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的所有主子式全大于零, 特别, [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的主对角线上的元素全大于零

答案：

证明设 [tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex] 是由 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的第 [tex=3.857x1.214]DjCiGMHqs7i43AtzYtScEj5BvTlaNjlKp1+dqTGq1o4=[/tex] 行和列交点上元素组成的主子式. 设 [tex=6.357x1.214]svSKWV6pci8QwF65D9N80q7EvfKkqdBr9JZEq6xD5xc=[/tex] 是 [tex=2.143x1.357]y16fCPMHGKmZEKCEmUjSOA==[/tex] 中去掉 [tex=3.857x1.214]DjCiGMHqs7i43AtzYtScEj5BvTlaNjlKp1+dqTGq1o4=[/tex] 后剩余的指标, 对二次型 [tex=4.786x1.429]w8/HCat4xEcEsYtnmLuNRWxGiOcezEPCemDX3LyT3tg=[/tex] 作如下可逆线性变换:[tex=18.714x1.429]jhhtrejbdWIEgxHQQjfa5vdm7Vh1albCiEqKS2s8GLiB524MG+lEqTpVAnrvqUIOLgP857Q87G23X47XlMGrxkB/RivdfPXPuxRS5JbLpqkRrA6ayLeUofKJRIFNkT49[/tex]若记 [tex=4.643x1.429]Y6qR8VEGsAzYY3pzOZsxWxqKe2m/glJy0YQDSDHucP0=[/tex], 则 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 的第 [tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex] 个顺序主子式就是 [tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex], 因为 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 正定, 必有 [tex=3.143x1.071]vfcRFmbw3EiLsW7XYcLtXA==[/tex]

举一反三

内容

0
证明：实对称矩阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是正定的充分必要条件为[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的所有主子式全大于零.
1
设[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为实对称矩阵, 证明: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]正定 (半正定) 的充分必要条件是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的特征值全大于 (大于等于)零.
2
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实方阵, 已知 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的特征值全是实数且 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的一阶主子式之和与二阶主子式之和都等于零. 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是幂零矩阵.
3
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵, 若存在 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实矩阵 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex], 使 [tex=4.143x1.286]YCUl/vNcR5SNlwwslg9Jhb5CY//bqvCw+mSVvBQx12Q=[/tex] 是正定阵, 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为非异阵.
4
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵, 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是半正定阵的充要条件是存在同阶实对称矩阵 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex], 使得 [tex=2.786x1.214]or70cFxB56GcrSSRwtcDrw==[/tex].