设X，Y相互独立，同服从正态分布N(0，σ2)，又ξ=aX+bY，η=aX-bY
X～N(0，σ2)，Y～N(0，σ2)，故EX=EY=0，DX=DY=σ2Eξ=aEX+bEY=0，Eη=aEX-bEY=0由于X，Y相互独立，所以aX与bY也相互独立，故有Dξ=a2DX+b2DY=(a2+b2)σ2，Dη=a2DX+b2DY=(a2+b2)σ2南协方差的性质知，cov(ξ，η)=cov(aX+bY，aX-bY)=a2cov(X，X)-abcov(X，Y)+bacov(Y，X)-b2cov(Y，Y)=a2DX-b2DY=(a2-b2)σ2，所以$当|a|=|b|时，ρξη=0，ξ，η不相关；当|a|≠|b|时，ρξη≠0，ξ，η相关由于X，Y都服从正态分布且相互独立，ξ，η都是X，Y的线性组合，所以ξ，η都服从正态分布N[0，(a2+b2)σ2]，在正态分布中，不相关与独立是等价的，所以当|a|=|b|时，ξ，η是相互独立的，|a|≠|b|时，ξ，η是不独立的$当ξ，η相互独立时，即a2=b2时，ξ～N(0，2a2σ2)，η～N(0，2a2σ2)，
举一反三
内容
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【填空题】设随机变量 X服从标准正态分布N(0,1),Y 服从标准正态分布 N(1,1), 且 X,Y 相互独立,则P(X+Y 1)= _________
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已知(X，Y)服从二维正态分布，且 EX=μ1，EY=μ2，DX=DY=σ2， ξ=aX+bY，η=aX-bY(ab≠0)， 则ξ与η独立的充要条件是（） A: a、b为任意实数 B: a=b-1 C: a2=62 D: a=b+1
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设随机变量X和Y都服从正态分布，则______． A: X+Y一定服从正态分布 B: (X，Y)一定服从二维正态分布 C: X与Y不相关，则X，Y相互独立 D: 若X与Y相互独立，则X-Y服从正态分布
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设随机变量X~N(1，4)，Y~N(0，16)， X,Y相互独立，则U＝X-Y+7服从【 】分布。
- 4
设随机变量X、Y相互独立，且X～P(2),Y～P(3),a,b为常数,则E(aX+bY)= ,D(aX+bY)=