试在[tex=2.0x1.357]pL+9s9nh77uX8/Gl5SRykA==[/tex]上定义一个函数,它在任一有理点不连续,但在任一无理点连续

2022-07-01

试在[tex=2.0x1.357]pL+9s9nh77uX8/Gl5SRykA==[/tex]上定义一个函数,它在任一有理点不连续,但在任一无理点连续

答案：

解一 设[tex=2.786x3.286]VCAPAvn3gOPyP36rvxBwz8/D1AlB4oIr55w6upedN5A=[/tex]为一收敛正项级数, [tex=2.0x1.357]pL+9s9nh77uX8/Gl5SRykA==[/tex]上全体有理数可数,故可记为[tex=10.357x1.357]zL/3mjH+NXa5GI1F17qyvfsk6MERQqrzoiEg2NOJJjG1zpBglxyLsbQ8l50yVHpavkEj2qjh3qyzPV3xLtKp/A==[/tex]对任意[tex=3.857x1.357]ZplrpbYpqJE5cGwN4oUp3w==[/tex], 定义函数:[tex=5.714x2.786]YObN+Ze/zBKrXKVdz5aw4nz21+rYR5ve3eFQsUhRDqQ=[/tex]这里和式对[tex=2.786x1.071]C2Z+/OuX3uAnvkEU1li5VQ==[/tex]的那些 [tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]相应的[tex=1.143x1.214]vqScHH6cO4CX+aurdRGfKw==[/tex]求和.则[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]为[tex=2.0x1.357]pL+9s9nh77uX8/Gl5SRykA==[/tex]上单调增函数且在无理点连续,有理点不连续其跃度为[tex=8.571x1.571]daWyL8d/0TtN59miqCWqxxUzhekX7j73hYT8BNSuiezgzWp4fnqBXT789eUtG9yXCxZWLt0FixMhpaZYhN6hLQ==[/tex]事实上,因为对任意[tex=2.429x1.071]C2BevkjpW0bPUFZNPkbrlQ==[/tex],[tex=10.357x2.786]G9bN9r2p/TVoWTBY54j60C2+s/+KG7r1ey5RwSgmwwyQDCzTICtJpIsOD5yQ7wrK[/tex],所以[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]为增函数.又记[tex=9.786x1.357]2RCwEyREIG76LZ+34xaV3Q88KpfktwXlk+9lHUBJFDADlh8RrfqxYKJNiKsBJ7XDkNHb4XdIWKOtOMFdllsg6g==[/tex], 当[tex=0.571x0.786]c5VsltFnl9nO0qB/vNKOWA==[/tex]为无理数[tex=5.071x1.857]ex259NH2Od814n/Z+Ys4MPFgaXlL4HV2R7c0M51fcMLsQtRbDPKUWrRtrfD7JkEB[/tex], 所以[tex=5.786x1.357]bFJmbCSVcBTBYyLWIfCbuA==[/tex], 同样可证 [tex=5.786x1.357]udgQpeir8G+JkGVT0smlKQ==[/tex], 所以[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]在无理点连续; 当[tex=0.571x0.786]c5VsltFnl9nO0qB/vNKOWA==[/tex]为有理点[tex=1.143x1.071]yl6/Y+dafhJdhlWuzma8cQ==[/tex]时,有[tex=5.429x1.929]JPkiEyBTIA26hg649DpTdSuUa/bxEQicKGLhmK95QeJSrPgoln/DpaxfgBWns3Pq[/tex], 所以[tex=7.929x1.357]bz9ILToubTgJyd15NatSBI1fzdPhCDmsEDeugtTKLAA=[/tex], 且此时类似亦可证[tex=5.786x1.357]udgQpeir8G+JkGVT0smlKQ==[/tex][tex=3.286x1.357]EI8rijRTaKP9I9FrDpzsrPsa/LDwWuld6CsvbPrynbM=[/tex]从而[tex=10.429x1.571]VZdMZ9s6QK1PicLzpJGNb5yw3vKu9uI96tygUZafiDCC5CI0PflIXoqXVHjNTkDzmLrU3C0Sp5SEikwqbmT3dA==[/tex]解二 利用微积分中熱知的黎曼函数 [tex=18.071x2.571]abCE7E/WD5q4TQOibtpvEQtE3uqX3SPhnQFYui8FV1bgm6z4fpUZXdVWRUjD8qVWCmJeej5K7o/UlpuvZgz82///Pg466m/n/WhWixS/KVLJsY2wuLNY9b+Vhq90wm33p/BK5LQzi724Syuw8xhuQVT7Hnj2Kp2PjElB9wdLRSU=[/tex]读者自行证明它亦为所求函数.

举一反三

内容

0
证明不可能有在[tex=2.0x1.357]khGQOVqy3eZik4Tp7/+YjA==[/tex]上定义的在有理点处都连续在无理点处都不连续的实函数.
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试证明下列命题：存在 [tex=1.214x1.214]u/EwPhudbQnOqlmqWT4jSQ==[/tex]上的递增函数 [tex=1.857x1.357]sBGRsVJ0Y3fPPi7d5ztPoA==[/tex], 它在无理点处连续,而在有理点上间断.
2
试求[tex=2.0x1.357]pL+9s9nh77uX8/Gl5SRykA==[/tex]上均匀分布的特征函数.
3
设由[tex=2.0x1.357]pL+9s9nh77uX8/Gl5SRykA==[/tex]中取出 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]个可测子集[tex=6.286x1.214]RwHNhKnsJE7/U9e6rjTMWNwjbalxGWzDRU455ijC9QA=[/tex], 假定[tex=2.0x1.357]pL+9s9nh77uX8/Gl5SRykA==[/tex]中任一点至少属于这 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]个集中的 [tex=0.5x1.0]jedlXyMYwmfVwxRj2j9sSw==[/tex]个，试证必有一集，它的测度大于或等于[tex=1.857x1.357]fQeXgfKDPec+KYD4YDQ2SQ==[/tex]
4
证明:黎曼函数[br][/br][tex=18.857x3.571]r+utW7X81dG8+Kt0GLJXt836yrVAjyS9rBXBMM2O2cXIW203OThTcSZqJFH+fDsufQgm6H3HeTsB2twnZiUD2jfYcZ5u6ZrRo3RHg1dI+suqAeyCjlDEMliQqLdxby6jpOIvgEOHMm0YIcn+BHWInEJ4HL6XfEg0bfxlQbMqw0yNiqvelRv2t9SPbvhT9e1P[/tex][br][/br]当 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 取任一个有理值时不连续的,而当 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 取任一个无理值时是连续的.作出这个函数的略图.