证: 只要证明对于任何在 [tex=2.0x1.357]pL+9s9nh77uX8/Gl5SRykA==[/tex] 中有理点上连续的函数, 至少在一个无理点上连续. 记 [tex=2.143x1.286]VykF7BpO3NFT550xU7Tx1w==[/tex] 中有理点全体为 [tex=5.0x1.357]Cu5m9RA/B4ft0Etm6cuznCBJJOTuE1W5561hb/pAcMI=[/tex][tex=5.143x1.357]LjkKzJjT6lPTcraoeawU0hD25nX2GKtudqR0mn/lxYI=[/tex], 又设 [tex=3.5x2.0]cMoevGX9NgbwIKy9ZNVf8FSdmPKUhLDw6XiRFiOVTds195CojD5faNwX8r8v1cAk[/tex], [tex=5.214x1.214]r+Z9T6AUXghnBM9yfKln5g==[/tex], 取 [tex=3.0x1.357]7X0sP4fTz54t4vwDlQLkrY9sWcDhu/zwoZjX46o4hII=[/tex], [tex=2.357x1.357]LE8Tp0//b+1dCdGukwpKTw==[/tex], [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex] 在 [tex=0.929x1.357]inUzTFVxX5+01cWbxf6Ang==[/tex] 连续, 对 [tex=0.857x1.0]e5X8xT+WZMcEsJmAZX7+qw==[/tex] 存在 [tex=2.643x1.214]OR3kpdR5wjwpAHHfEfIhXA==[/tex], 作 [tex=8.714x1.357]cZJpzKP0WqQdbQ/3fis5XMi8kUozlxw0MWsqH2vwMe0bt6Jtv+YvgVCdUIPREh+5ZKpKpNe+VQR9pfFUyLz2Hw==[/tex], 使得 [tex=2.357x1.286]mCjDC0eKUKl2sR5Hu5QnMCZI4nlddv9vo+2Jn+q5wEY=[/tex], [tex=3.357x2.0]Esv+c0nfQykCCxFc0fBfkBv4gX8rjPdlrO9EG+uAub0bjf9kc28pPLbpP2wf1/XB[/tex], [tex=4.286x1.286]WE42+FHOsrGzRwS7fDQtjY+dR91t0NQBe41Pla/W5xs=[/tex], 且当 [tex=2.571x1.286]fjbyddiSVlqNpEwylTrrhPr5b19sJhOBjsIgRIpHJco=[/tex] 时有 [tex=8.143x1.286]slW4mZWv6oHVTKqptX3VxTkyQwb7aU+eysb0m88oRNJKFq6npdUzUXW8EKQw6DhOjSwySxR8UlnnN9wy6YVeNg==[/tex] ; 取 [tex=2.929x1.286]SpIC2k5CTygXKYrLGw/wv+OjOm6hV+sV/ySkHoOda5M=[/tex], [tex=2.857x1.286]SpIC2k5CTygXKYrLGw/wv+HgGamjir3PuwSRp5LDW7M=[/tex], [tex=3.071x1.286]ZC0OpmirmuETOyzAeQKUdHMBRtdWo21O/VEkiAThZq8=[/tex], [tex=0.857x1.286]H03VD4SCKfotrcFsRV+kxg==[/tex], [tex=0.857x1.286]gAiWabaKeV4tpbZgUyYm7g==[/tex], 由 [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex] 在 [tex=0.929x1.357]ilG0ak1rGc8OiGF980nCsw==[/tex] 连续, 对 [tex=0.857x1.0]b+Jl5f8OTfDjSXKgwp9Sig==[/tex] 存在 [tex=2.643x1.214]xqPGISsGiMmJC/6jQrq/yg==[/tex], 作 [tex=8.714x1.357]WuQUjgPqE3nDM/aZ5llrzzf4H7HqgvHjBn5kXI3Yc2IBd7L5VmRbEwxnF1ozWA1TZMla/tsNVcS9S3ow0xzsNg==[/tex], 使得 [tex=0.857x1.286]H03VD4SCKfotrcFsRV+kxg==[/tex], [tex=0.857x1.286]gAiWabaKeV4tpbZgUyYm7g==[/tex], [tex=2.286x1.429]S7SX0W5xInepztKcMz65ZB7gLa5sJ7nzf++w91mu+JlwR5/djUjjwmWtw8u1qyII[/tex],[tex=3.857x2.357]vsFiHh0Ia7H+j4lwhvkW5HQobqpZzey8zYuyISCwGNDyURmzQdqUwAL/+UFme78J[/tex], [tex=3.0x1.286]3gH7sJFql7CvCFpjSLIFCMuLtbJ78Ew/3uYqoDilHkm6HxQPIfnSf4YEXDGkyhNi[/tex],且当 [tex=2.071x1.214]PKLjC8nm2eSgz0mUUgMKsg==[/tex] 吋有 [tex=7.643x1.357]nadCuAnsKZWrBw7IGsorzial0O9ycOMyCixn5xk0RikXjF3i0Dwu0cB6ffdWc9rQKXOt/iYLMY7oNIrTG/NDrQ==[/tex] ; 显然上述取法是存在的, 如此继续下去, 到第 [tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex] 步, 取 [tex=3.286x1.357]XyjKC+nFtM6oOdLM+XYxom8jgMvyg7Tpij7M3GbbJq0=[/tex], [tex=2.357x1.357]rHa7yC7Tf8jgmVos34aP0A==[/tex], [tex=3.071x1.357]TWWu65zXjbj3ZFVfU5eBdBoqZVJl6y6igVMix9qLj1A=[/tex], [tex=0.857x1.286]H03VD4SCKfotrcFsRV+kxg==[/tex], [tex=0.857x1.286]gAiWabaKeV4tpbZgUyYm7g==[/tex], [tex=0.857x1.0]biF+WP3a2DWKqjllu2eZGw==[/tex], [tex=0.929x1.357]ilG0ak1rGc8OiGF980nCsw==[/tex], [tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex], [tex=1.786x1.0]qvz1mKluJwy++rs2XIxRBg==[/tex], [tex=2.214x1.429]t2pDOGGUFK1QnGcX4stYeoroVG6ESu6vVtSawI1eqK8=[/tex](由 [tex=1.786x1.214]W1MCvacaFP4Tjw0H6NjKGw==[/tex] 内有无穷多个有理数, 故可以做到), 由 [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex] 在 [tex=0.929x1.357]z3uObRa9PnAlXoE4kWU4Dg==[/tex] 连续, 对 [tex=0.929x1.0]gby7/eejq1fsS4r/OxVGZg==[/tex] 存在 [tex=2.714x1.214]A1I8ID6tTQ4gluxGopol6g==[/tex], 作 [tex=2.0x1.286]VD4AUX8NOtT3+gckRzLh7Q==[/tex][tex=7.357x1.286]Lw0novSLrlhbeIvbBmt48FP9IikVR0BvM03bFD7LHEFNw1ZUezV0kekzjVHb/LzTcg6uU9GxPmTCUVJFuAERXg==[/tex], 使得 [tex=0.929x1.286]ov1GDK8zueokrUH7JJt/5g==[/tex], [tex=0.857x1.286]H03VD4SCKfotrcFsRV+kxg==[/tex], [tex=0.857x1.286]gAiWabaKeV4tpbZgUyYm7g==[/tex], [tex=0.857x1.0]biF+WP3a2DWKqjllu2eZGw==[/tex], [tex=0.929x1.357]ilG0ak1rGc8OiGF980nCsw==[/tex], [tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex], [tex=1.786x1.0]qvz1mKluJwy++rs2XIxRBg==[/tex], [tex=4.286x1.571]t2pDOGGUFK1QnGcX4stYegyGHXBTiEA7ehh7DJfX8wEBuLz8DurKKFURuofHsT0XUcbQQgp+WHA7NhBbPkUHCg==[/tex],[tex=4.0x2.357]8TX5HIMVlu3CWHQO/FAUE3rsUp+wZ8JEWIp4SABpO5s+r8Zlg9xjcyysXGFoPgFT[/tex], [tex=4.0x1.429]kS0XoftHKHE1gvs0thmxtaCXC1JhzqsqL18hdF+LAoMFABDlsRK2wJeloti30ZX1[/tex], 且当 [tex=2.143x1.214]r9xvrKbDBTg/0R9phwGN2w==[/tex] 时有 [tex=8.0x1.357]9Ehmz9K1XvCPM2SWtAM+JAYnQ/UNBn3TghFhlrJ5YbgPloD0rc7WUcEZbeF8nZD/oFaTmeXZxmt85m/B7UgxHw==[/tex], 如此得到闭区间套 [tex=5.214x1.5]7CvC3/HzgVWLh8lQmEeMIKGzGS2wEkVBT/8K8SSBGnYAIVetM+/DE6ctRNWaw43W[/tex][tex=4.5x1.429]t1qP5UObJG/vGccoC7bI/FykqUJobB5lM06Auj/3oV6cteLDBYJgkR51sRyoEVkK[/tex][tex=3.5x1.429]kS0XoftHKHE1gvs0thmxtZu0HyF/ji+vLKaQW4mG1eji2Q9vqx1vyPNjqesajnox[/tex], 且 [tex=6.0x2.357]8TX5HIMVlu3CWHQO/FAUE3rsUp+wZ8JEWIp4SABpO5uYyl+e1q9WL4NqufSekJIz0Ccjzz0TAATWPa7EfmV96Q==[/tex] [tex=3.429x1.357]qo20Xm2RmNf+6FboJYQqE0+gLqhFnHZ8tpNxIPtO4aI=[/tex], 由闭区间套定理存在 [tex=4.143x3.286]v2HW2XqP972uCxoVxsZXyKoV+ly5pUSw5gixjvi8sNNLROFgcHOubRP3Csafw38kKZvyIUERkG+AU7caT0WpYQ==[/tex], 下面证明 [tex=0.929x1.0]cjoIbYuE/p4IqfLA8eA4ZA==[/tex] 是无理点, 且 [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex] 在 [tex=0.929x1.0]cjoIbYuE/p4IqfLA8eA4ZA==[/tex] 点连续, 从而命题得证. 若 [tex=0.929x1.0]cjoIbYuE/p4IqfLA8eA4ZA==[/tex] 为有理点, 则有 [tex=3.429x1.071]AzjGhJiVLFMrvz7d0Ykn+A==[/tex], 取 [tex=2.929x1.143]lOcso5Gje3qv7p16Rc1k1A==[/tex], 由作法可知 [tex=2.714x1.5]T578fcTD1TXnZB2we1iyemziMr66TcOOmlTb9PRAFtFEwzFWkzMu7q0ZAw3gP8Py[/tex], 但这与 [tex=3.857x1.071]2i9kCbeB6vWOQ+lt3uHIMQ==[/tex][tex=4.571x3.286]iI/RgomtDif9A3SDxztQn9Rt2H+65RjLF8RwNnHIvu6jl/eCySxL94nl7pH/bPgQ90DPYE72+Ibot9eVDEReXNwyTPwZDPX5hvZGMgAlxQk=[/tex] 矛盾, 所以 [tex=0.929x1.0]cjoIbYuE/p4IqfLA8eA4ZA==[/tex] 为无理点, 再证[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex] 在 [tex=0.929x1.0]cjoIbYuE/p4IqfLA8eA4ZA==[/tex] 连续, 首先易知 [tex=2.5x1.214]seqFhOUraWXnZJHnS71HTw==[/tex]; 任给 [tex=2.357x1.071]NKdlHEPkxrjbs/M0XXsJWQ==[/tex], 由 [tex=3.0x1.286]cMoevGX9NgbwIKy9ZNVf8FomfDm5TbwDtTPazFCjEoK4opNCrIDaDClYU7S79pry[/tex][tex=3.429x1.357]qo20Xm2RmNf+6FboJYQqE0+gLqhFnHZ8tpNxIPtO4aI=[/tex], 取 [tex=3.214x2.143]lgrmAOEiOlNmAZnKNQuN3hYP8TiaxBZocmoFjudD7QkU5vfRE9pw5xNUrjQiUTcy[/tex], 再取 [tex=3.714x1.286]7DsfFKXgpz1tKj2UVLZ0pWHdZvwT01c0LE6nNbgqOUM=[/tex][tex=5.286x1.5]GC0QVOgmJ9ZLdw9wbvBiyRCU0safz2ZW20Gy8XEYYY442eR1Uy0CrsFFqGNLsBkA[/tex], 当 [tex=4.643x1.357]/r3uVVZC2s6vsuBVN9ynkfWFYkZT0IU09tTqDLfzqUM=[/tex] 时, [tex=4.286x1.5]YfjILTSajRMmYcyjtAcjtcQfxSbdX8jtOqoyBSTmAQzEH1uVkVyI2zMwGtdOQJH/[/tex][tex=3.786x1.357]/r3uVVZC2s6vsuBVN9ynkWhI6Bcccl6068qundScCl4=[/tex][tex=6.071x1.5]GC0QVOgmJ9ZLdw9wbvBiyYGk4w5pmI4CGXRrAfH0mL5EFORe3vVG7y7Rb7nnus5GnV7V6weZRPpgCaj2ZYgOSA==[/tex], 所以 [tex=6.643x1.357]nadCuAnsKZWrBw7IGsorzpb5Ry6VGH12gkRYBlxak13jRFjLr6QVfZJ/E0V+XDLE[/tex][tex=7.0x1.5]nadCuAnsKZWrBw7IGsorzrBu4bkjxWien1qTyx/w4v1xBeRenN5HqtXI71JlTIT+BM5Bx4r+zJNlU3uBf8KIcQ==[/tex][tex=7.857x1.5]4mRTOkXYoH5Invw7h7pyVX//FlebeqwsIqsFPX1XjZpCOQ2xbjM1ycNz7I25UBGACGEzd6n2rGpplIBkE6Th1MPhRQOxU7t6+AYgA//Tgrk=[/tex][tex=3.5x1.286]b6hHEQ9qd+9JnPy4XkViB6eba7f7U7oCCVBAx8/VEXaPRX57JWGuhD6g/7zPhB5m[/tex], 这就证明了 [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex] 在无理点 [tex=0.929x1.0]cjoIbYuE/p4IqfLA8eA4ZA==[/tex] 连续.