在被加集可以相交的情形下证明: [br][/br]可列个有限集的和集是一可列集.
证 先说明,我们认为这些定理中所说的诸被加集都是不同的集合,即任意二个集合之间至少有一个元素不同.证明设[tex=6.357x1.357]l2XYpHv0fbULjV+4VxnPMCSPqw05H5AIPYNwHkm7C2M=[/tex]是可列个(互不相同的)有限集.记为[br][/br][tex=9.5x5.643]Ck4j1YFlvVH5wCAykOEMi9hQ67u+ZMWf+rE6neixkZlcb3aNzt2pu05IoFc2i3757EL1Du3MZjZXxd1FiZJOzIPc3rXygfHCzSgMSY2o8OiLqOf9JVjNY4FUK+Zau+OTbhtYsH9/bSCWlZkpW/9/1nTeGNZbAz1K1eOUr9rgYUG7VMxnhuiCRuXjXvdMBFmLibWm9UJfUf5vEcr3w4L3CXab0qdaPi7KMMTUSj+hJcxI4tOb0B+t0FRkFfTpikuE[/tex][br][/br]和集为 [tex=4.571x2.714]7drsG9Bg5Hxq6dPNOiqs1T0FgGvx9SFloj4cmv02rP/aDviEnCSSZqpGgML6SD5K[/tex]显然,[tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex]至多可列.因为可按一定顺序把[tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex]的元素排列起[br][/br]来,去掉重复的,剩下的仍至多可列.[br][/br]再者, [tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex]必为无限集.若不然,[tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex]为有限集.不妨记之为[tex=6.714x1.357]sskGT5Tz8PulqEaZ4pYTBK88tk3Gx3Sg3PeKjvVPGR1BiwmL/Nwlsx5zw58w5D0T[/tex][br][/br]则[tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex]的所有不同子集共有[tex=1.143x1.214]hvaLPdbNSxVaiSdQwTnjYw==[/tex]个,是有限个,不可能是可列个.[br][/br]因此,[tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex]必为无限集. 由于[tex=4.714x2.714]kussXMdqGvwWuJix1MixZqrbp4n0JscCOWQH/M9U4DCm5us+3m2vR3uzCTJ+4jY0[/tex]为至多可列的无限集,便知[tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex]为可列集.
举一反三
内容
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试证明下列命题：有理数集 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex] 是可列集.
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证明整系数多项式全体是可列集。
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试证可列个零测度集的并仍是零测度集。
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证明: 设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 与 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 都是可列集,证明 [tex=2.643x1.0]nnfU3ueC7heOntsosOPpjA==[/tex] 也是可列集.
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证明列紧集的闭包必是自列紧集.