证明:曲面为极小曲面的充要条件是,曲面上存在两族正交的渐近线.

2022-11-02

证明:曲面为极小曲面的充要条件是,曲面上存在两族正交的渐近线.

答案：

证明：曲面为极小曲面[tex=5.143x1.214]y8LuSm71q2LpxnLwWvR1b3BtC4rLZyPzXRKVCrwpeZI=[/tex]，对应的主方向分别为[tex=2.214x1.0]cZWVklFXSWOHaEvpf4AibUpT67q/jVNUKSjdCTBOb7M=[/tex].则[tex=22.286x1.357]sHi2eKGdLpw3zUu+H82WVoyIURNVay+/m6WzJP2yawYQF1LXTc65tfx6Xc/JPJMbrg64bGBlPLmpVapZgHoeOf2eTy7KbgXTJuIVBdyw8hZVSsdkvDQBFhnOcVsdW9cXtObWoFP4U8BROwucvS92FjLp2fGDdxsdA0RlpVODYapyyuir9IFngXjy8yTjZxJ+jvTgSuGKH8ZSeAbYb4fi3A==[/tex].所以[tex=2.571x1.143]ap9Psa4WmRtPWb8rocPw8vr2aQX/oSjW6kycmZcxrD0=[/tex]和[tex=2.571x1.143]24lmjdunpj5q6JNkbs6UhAd9cE0ClDFy05JXkm8vZDM=[/tex]是两族正交的渐进方向.反之，如果有两族正交的渐进方向[tex=1.429x1.214]aFgGZFpUeVjcpHgNAHHQdg==[/tex]，主方向为[tex=2.214x1.0]cZWVklFXSWOHaEvpf4AibUpT67q/jVNUKSjdCTBOb7M=[/tex]，记[tex=6.357x1.429]Hr8qnvci3lb5fFte+nNkUzOFLTolcifE2PKs2KyyrvRyBplODJ73r3eAq9p0W4SILusJlF/UDPzz6YZaIaimNw==[/tex]则[tex=16.071x5.357]Ck4j1YFlvVH5wCAykOEMi8Mb4VrXBilLGkknlpnWP6aV+6BAdiiu5lJ/drnOjGF2/rb9jgyOFX66CB1fgxdDFM0LqAaqiUv6k6Nt0onewukdxCEDcvlfgY/co5wD9viVz29AD/x4VJsd3H4umRnXiRAYSsmOwcqC4rfO2BC/A33udIH3iFPtN7KQNfXc/oCiGOPUt6krAjwrDp9/IGeVxjnsHx2WGZQd8BwdyrjdfBNnlOJ27PquccLx4i7GCrx+JL/NtQapL3HUXMhymB92IYu3+hzSxZefmjjziJ1GRSTww02C1dIz9SuYEATcDW5g[/tex]所以[tex=13.143x3.0]mSdSOLpgFiUol0dpKUAM0alWy5DcafFVMzJZg05AKfy2MRPVrMAMX7WqouKW81BplHCWGCLUGvwYzdtsrjxPG1RwM9sSHnroAv3XSZ1v0QBDfum6TqR091164g+J2m+apPsk6VuZFuDDmyzK2e8GP3wiSh/+BxWUfT79VeSp5bI=[/tex].则[tex=3.857x1.214]ns+f5ESHvoig7r9N+iFxUA==[/tex]或[tex=2.571x1.214]xtsVinkbiqPQ5ToigvER7w==[/tex]（舍去）.

举一反三

内容

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证明:若曲面与其Gauss 映射的像成共形对应,则曲面必是球面或极小曲面.
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两曲面称为是正交的,如果它们在交线上的任一点处的两个法向量互相垂直，证明: 曲面 [tex=5.357x1.429]Cm2CR+aVK6umMtz+bUjegtgmgZQvUhYaSKD6coUQWzY=[/tex] 与曲面 [tex=5.643x1.429]JfMnpkdfUBckNje06oWbk/BDZAzHaBBEbyZO6OqX4As=[/tex] 正交.
2
证明: 任意一极小曲面片的面积不会小于相应的平行曲面片的面积。
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线面连接曲面只能是线与线连接成曲面，不可以是线与面连接成曲面或是曲面与曲面连接成曲面
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曲面与平面的交线在xoy面上的投影曲线为b7e6a4d43853f5602d25ef492f9c79de.pnga387395fc6c3c46cd089d89e1a74da2d.png