已知[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]与[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]及[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]与[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]都可交换，证明[tex=3.214x1.286]C8kZk0nkZ1b2icrGeDS7aA==[/tex]是同阶矩阵，且[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]与[tex=1.571x1.286]hOo99m7YJCAnVf2cQGX8dQ==[/tex]可交换。

2022-06-05

已知[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]与[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]及[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]与[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]都可交换，证明[tex=3.214x1.286]C8kZk0nkZ1b2icrGeDS7aA==[/tex]是同阶矩阵，且[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]与[tex=1.571x1.286]hOo99m7YJCAnVf2cQGX8dQ==[/tex]可交换。

答案：

证：设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]是[tex=2.643x1.286]yu9Fqc429BTsCWKDfgGy8g==[/tex]矩阵，由[tex=1.571x1.286]cHJ4KDAad01mWuGaiQQpfA==[/tex]可乘，故可设[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]是[tex=2.286x1.286]w9nk1znIpMVff6nxiZc2Cw==[/tex]矩阵。又因[tex=1.571x1.286]TPNlNIVtJPoRyyIaBTqdfg==[/tex]可乘，所以[tex=2.643x1.286]7A9/e9l9W94C0vgluRexeg==[/tex]。那么[tex=1.571x1.286]cHJ4KDAad01mWuGaiQQpfA==[/tex]是[tex=0.857x1.286]VtHyCG+ZQg7fAIyRU+W9ow==[/tex]阶矩阵，[tex=1.571x1.286]TPNlNIVtJPoRyyIaBTqdfg==[/tex]是[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶矩阵，从[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]可交换，即[tex=8.571x1.286]oeWN7JJkpCCyM2W2ak6ZHbT8VNP66QYFZthPDaqmoMw=[/tex]，即[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]是同阶矩阵，同理[tex=0.786x1.286]TKU5UzNEMzEJwORo6mbEYA==[/tex]与[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]也同阶。由结合律，有[tex=12.714x1.286]EzUcvNY6givCR6D/u7aE946IYETPOwlNtiQoEuwuIxo=[/tex][tex=11.714x1.286]bd75JhiEWEIFNhdqq5C4RH80uVfqQQhO4/o59T8cwFs=[/tex]，所以[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]与[tex=1.571x1.286]hOo99m7YJCAnVf2cQGX8dQ==[/tex]可交换。

举一反三

内容

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如果[tex=4.357x1.286]hYSGrw5He693xGJsPlhlQQ==[/tex]，称矩阵[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]与[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]可交换。设[tex=8.214x3.5]No14tepOrgpLFcwU7iwUQaq7tFClr8PoT8Gx3elh/kKyA9/ZVB8eMLkXSxHHPamPMR2mrGJypPpWrXDmSivSLpjphCMZTBKxDP2IJfdmA22+OySvgjrwoQ43MycqsQoh[/tex]，求所有与[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]可交换的矩阵。
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如果[tex=4.357x1.286]hYSGrw5He693xGJsPlhlQQ==[/tex]，称矩阵[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]与[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]可交换。设[tex=8.214x3.5]No14tepOrgpLFcwU7iwUQaq7tFClr8PoT8Gx3elh/kKpsf5TDk3qZqslx7AczUuPhN+XjwpHUuodpe7amji/noFNbyA19Rehrvho4ALukZ9nBg8cervIvTT10aXcg3wZ[/tex]，求所有与[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]可交换的矩阵。
2
设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]为[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶矩阵，以下结论正确的是未知类型：{'options': ['若[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]是对称矩阵，则[tex=1.571x1.286]aR1a8Eu3rZLX3flcxLOVFw==[/tex]也是对称矩阵。', '[tex=11.714x1.286]NJbZXpNrSzrAZ6Mf8tGLCupQ8DcVXXd7xcrIzZ9NK20=[/tex]。', '若[tex=3.571x1.286]e+srJojTm8Kf62t4In3fUA==[/tex]，\xa0且[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]可逆\xa0，\xa0则[tex=2.857x1.286]aSKcbPomEkiO8fn5twsTPw==[/tex]。', '若[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]与[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]\xa0等价，则[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]与[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]\xa0相等。'], 'type': 102}
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设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]为[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶矩阵，且[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]与[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]合同，证明：[tex=5.214x1.286]FPVBIVvmXc/lzHHB/iDA4w==[/tex]．
4
证明:(1) 设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex] 为矩阵，则[tex=4.286x1.286]oheUYwhZ0URiNEpsN7L7kA==[/tex]有意义的充分必要条件是[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex] 为同阶矩阵。(2) 对任意 [tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶矩阵[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex] ，都有[tex=6.286x1.286]f9BmKY0KXh740nvID3nNj0fFKPsoX9X3zKZONqYCrR0=[/tex]，其中[tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex]为单位矩阵。