设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是主理想整环[tex=0.5x1.0]LcdCy2j5rNO7dKCH5QTrlQ==[/tex]，是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想且 [tex=3.286x1.357]dFTkQ01Y6TZlDUeXGPq6dA==[/tex]，试证：[tex=1.714x1.357]ceJTjldMkJXWCHatl5T1Jg==[/tex]的每个理想都是主理想（问[tex=1.714x1.357]ceJTjldMkJXWCHatl5T1Jg==[/tex]是主理想整环吗）。

2022-06-04

设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是主理想整环[tex=0.5x1.0]LcdCy2j5rNO7dKCH5QTrlQ==[/tex]，是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想且 [tex=3.286x1.357]dFTkQ01Y6TZlDUeXGPq6dA==[/tex]，试证：[tex=1.714x1.357]ceJTjldMkJXWCHatl5T1Jg==[/tex]的每个理想都是主理想（问[tex=1.714x1.357]ceJTjldMkJXWCHatl5T1Jg==[/tex]是主理想整环吗）。

答案：

证明：设[tex=0.714x1.143]Hop158/KN2iYkw/kq7Oa3w==[/tex]是[tex=1.714x1.357]ceJTjldMkJXWCHatl5T1Jg==[/tex]的一个理想，于是有[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想[tex=2.357x1.143]H9UGJ0j8OyXT5Ue77e8VWw==[/tex]，使得 [tex=3.286x1.429]mpxCbIsmoRhWsotOzmhmqA==[/tex]，[tex=0.786x1.0]K1/XWzOhtHGAb7kJAVBomw==[/tex]主理想整环，于是有[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]使得[tex=2.643x1.357]odBiwava4kDKitvfKwqb5oAEuAavNTu+YwmuvVB3byY=[/tex]，因此 [tex=4.143x1.429]IE9BiQ0Mj/ofWeeqgLfslwv8/W2zGKJJdyGLw0yLu10=[/tex]为主理想，[tex=1.714x1.357]ceJTjldMkJXWCHatl5T1Jg==[/tex]不一定是主理想整环，知当且仅当 [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex]由素元素生成时，[tex=1.714x1.357]ceJTjldMkJXWCHatl5T1Jg==[/tex]才是主理想整环，而且是域。

举一反三

内容

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设 [tex=0.714x1.214]o1HMeHvTnCSY+cMqAEISgQ==[/tex] 是环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 到 [tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex] 的同态满射，[tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想，[tex=0.786x1.143]EiNNRHzKTxg7zGjdHFOxvQ==[/tex] 是 [tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex] 的理想，那么(1) [tex=1.714x1.357]2+VR21kpEOyUGEehE2UvdA==[/tex] 是 [tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex] 的理想;(2) [tex=3.286x1.5]/Rybg/8CUfBGAEQhpY7PXIK2RmbrEgHGC3vZadxbYqI=[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想。
1
设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 为交换环, [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的非零理想, [tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex] 是 [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 的素理想. 证明: [tex=0.571x1.0]EnSTrJsHc9I00M+IaN7q+w==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想.
2
设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个环，[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想[tex=3.071x1.214]2z9vnN+dKaccAoKkXyT6Dg==[/tex]称为极大理想，如果不存在[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的理想[tex=0.786x1.0]kEam2pLJe4uAYVdcny2W5g==[/tex]，使[tex=5.214x1.071]AO/7KPCQT6BOUH7FsWU/aZUmFW8pXsh7FeChrOWQa4k=[/tex]，试证[tex=1.0x1.0]0KCelhZna0R9EGhYF1VZHA==[/tex]是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的极大理想当且仅当 [tex=2.286x1.357]XKzHcrt3dN58hKveNuIuGg==[/tex]是单环（即不包含非平凡理想的环）。
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设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是唯一分解整环,[tex=2.0x1.071]cEfxtcWLM4J1W7/FE7wQ7Q==[/tex]且 [tex=2.357x1.286]NmWLUlTOILHDfw7uqfi4DQ==[/tex], 证明:[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 仅有有限多个主理想包含[tex=0.857x0.786]01kq8KmHly+rFzDvW3W5pw==[/tex]
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设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 为环， [tex=1.786x1.214]6tfK8Xu5VII5Cof0ldCDJw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的两个理想，则 [tex=2.071x1.143]FGBbsKfBrmsAUpq686lM7Q==[/tex] 也是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想, 且[tex=13.071x1.571]XuAP5pRnpiOzK6W1JU+4iGIcUJwy+lBPPYAw+otff+OMazqOwTbIAA1mh7Znww+F[/tex]。