7．证明：次数 > 0 且手项系数为 1 的多项式[tex=1.857x1.357]WfYZdY0XGZepXTh79jTk4A==[/tex]是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件为：对任意的多项式[tex=1.857x1.357]w1iyrCYPGqaN4/TeE4p0pA==[/tex] 必有[tex=6.786x1.357]LBShIAKXyumE73h8+CWE0g==[/tex]，或者对某一正整数 [tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex], [tex=5.214x1.357]2b+0ZPIn+JhnqeNAq++wBM+CF08EAq9ClmGz91b+CDs=[/tex]。

2022-06-04

7．证明：次数 > 0 且手项系数为 1 的多项式[tex=1.857x1.357]WfYZdY0XGZepXTh79jTk4A==[/tex]是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件为：对任意的多项式[tex=1.857x1.357]w1iyrCYPGqaN4/TeE4p0pA==[/tex] 必有[tex=6.786x1.357]LBShIAKXyumE73h8+CWE0g==[/tex]，或者对某一正整数 [tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex], [tex=5.214x1.357]2b+0ZPIn+JhnqeNAq++wBM+CF08EAq9ClmGz91b+CDs=[/tex]。

答案：

证 必要性：设[tex=5.429x1.357]pUPhqRvJJZMdAiyQ2gl67Q==[/tex]（其中[tex=1.857x1.357]66BLffy4J1qRKAygYXeWCw==[/tex] 是不可约多项式），则对任意多项式[tex=1.857x1.357]AbOysnmt7vuYFIGcBWDarQ==[/tex]，有[tex=8.857x1.357]Ku1mX1HGVWBnD1+cDWPRorZzFWRLXF0SQsb+3t2lV8A66QgNycjeNWYTLrbn3XcP[/tex]或[tex=6.071x1.357]HurNiiYUIuQHNleVTEr9kfB8krBBmA8LeE3xq4GLY8w=[/tex]对于 1 ) 有 [tex=6.214x1.357]SCBkc5H4H7gXsFShGuBkXHGQ7amFMmuOXsrvhaPqenQ=[/tex]。对于 2 ) 有 [tex=5.571x1.357]ImU9Lr5M5zjHBuOiviaabygECi57gAbJyzDrVurgG2I=[/tex]此即[tex=4.929x1.357]kFSxfToagE+9EJ6RgQ4jRBOL0lPpthbflhKsWKreSyo=[/tex]。再让[tex=2.429x1.0]xGaeDPNcRzrsUddq3iLHfA==[/tex] 即证必要性。充分性: 设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]不是某一个多项式的方幕，则[tex=11.929x1.571]2CNJ1XPUM4SCEbOyHhy2pmvS18SDDUDanDFKwUHwu3AS0vTjuAcA3b2he+IEHrEM2S4ossNEDrCX90xSB7OMsJ8i1ibst4Su1rQE1nQiR6uQHZjG6qD2fx839mCfSmLV[/tex]其中[tex=10.143x1.357]al2XyYIApu62aaGvE7XH0VWUU/ceyUcxHo54sDzZlq3cRo8BrjlQ5n3nM9Bj+sRI[/tex]是正整数。若[tex=5.143x1.357]RXvs5zbGywa1RybWrMdbY6eUkpmNzJ/1FT5xsF0UOq8=[/tex]则由题设知 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]与[tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex]满足[tex=6.214x1.357]SCBkc5H4H7gXsFShGuBkXHGQ7amFMmuOXsrvhaPqenQ=[/tex]或 [tex=7.5x1.357]yg7dmTEy5PSvlHeAy1uLUmC71+5vN+49ood7f71lyqg=[/tex]为某一正整数 [tex=0.429x1.357]VJTYmdtttZvFrSMSWqFgqw==[/tex]但这是不可能的，即证。

举一反三

内容

0
证明：次数大于０且首项系数为１的多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是，对任意的多项式[tex=4.214x1.357]9I4yFW6UBqLj0sNwQPISXQ==[/tex]，由[tex=6.429x1.357]+R1jMtRVS9GlP1JySUA042rLPoIBK7wxj5QpIcRaGxc=[/tex]可以推出[tex=4.0x1.357]ndiWZM+WuXGJrRPPGbGfKw==[/tex]，或者对某一正整数[tex=6.071x1.357]6SvEm+PSget3RuSA7KyXOiH7pksDCl/fUDOt2+ai0eM=[/tex]．
1
证明:次数[tex=1.571x1.071]CdrEIJCr+STODfA15YqEAA==[/tex] 且首项系数为 1 的多项式 [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是,对任意的多项式 [tex=4.071x1.357]Qz1LTo6VameFjnlGq91uhA==[/tex] 由 [tex=6.429x1.357]+R1jMtRVS9GlP1JySUA048TecIGO9b8iyL24oJ7H1i8=[/tex]可以推出[tex=5.0x1.357]+Vkq5DJGKQ2aTyGybHy6maq7W8o+sJ2CRYH7plxEmik=[/tex] 或者对某一正整数 [tex=6.571x1.357]3GjOe+QXIU7Dq/LXjALUkusPGkoxOwhUSwys93/sj1s=[/tex]
2
证明: 次数[tex=1.571x1.143]Rf0+r8M+Nk/QyJvYJcTuVw==[/tex]且首项系数为 1 的多项式[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是某一不可约多项式的方幕的充分必要条件是: 对任意的多项式[tex=4.5x1.357]9MaxUOOD6XnglLsrFKS5jg==[/tex]由 [tex=6.714x1.357]PPTewQDiYIYKJK37NA0z1ByaZCU2y5ibc4iPuti/oUY=[/tex]可以推出[tex=4.786x1.357]0z6Yz7SsR7lX06LarDiBFG7jomooTcEM0XVJGp+ugAY=[/tex]或者对某一正整数[tex=6.571x1.357]Cs/78r95nPYRg3f5IFzUhJjzeYLI6uo/p69o1q5yLC8=[/tex]。
3
证明：数域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]上一个次数大于零的多项式[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是[tex=1.786x1.357]fYQETKmUABbcGa9oo7MEAQ==[/tex]中某一不可约多项式的幂的充分且必要条件，是对于任意[tex=4.286x1.357]YV2Ax5qSHlbTZtjZWNTl8bCSRS9PKa8xONN+hdxei88=[/tex]，或者[tex=6.0x1.357]/5+zYQX4jyZ3elrPZFEHJw==[/tex]，或者存在一个正整数 [tex=0.929x0.786]FTfUoplPStit3eMYfNbP0g==[/tex]，使得[tex=5.214x1.357]yg7dmTEy5PSvlHeAy1uLUvY1ybA5kUMiOhDz4/gBiwU=[/tex].
4
设f(x)具有性质：[tex=8.571x1.357]8gPeznjMnng12qtkk9Vgczii1Sh4d1qJxc9iHYT5+YI=[/tex]证明：必有f(0)=0，[tex=5.5x1.357]rt5qCY7TXHcsFUQrD44nPA==[/tex]（p为任意正整数）