证明:次数 [tex=1.571x1.071]qH46Df5l2YhGU+w85yZX6Q==[/tex]且首项系数为 1 的多项式 [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件为,对任意的多项式[tex=1.857x1.357]uQafhAujpSLbF4Vj5vYNRQ==[/tex]必有[tex=6.643x1.357]Xwpaoo5DnaPc/Ov5LaJCSMCT1QKvyxE16rWLgeNJj18=[/tex]或者对某一正整数[tex=6.786x1.357]WLVodeZWTwo7cgr+pkGMbIzjBFRlcpYXJwY0QjPwPVw=[/tex]

2022-06-19

证明:次数 [tex=1.571x1.071]qH46Df5l2YhGU+w85yZX6Q==[/tex]且首项系数为 1 的多项式 [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件为,对任意的多项式[tex=1.857x1.357]uQafhAujpSLbF4Vj5vYNRQ==[/tex]必有[tex=6.643x1.357]Xwpaoo5DnaPc/Ov5LaJCSMCT1QKvyxE16rWLgeNJj18=[/tex]或者对某一正整数[tex=6.786x1.357]WLVodeZWTwo7cgr+pkGMbIzjBFRlcpYXJwY0QjPwPVw=[/tex]

答案：

证明 必要性.如果[tex=1.857x1.357]lDegY4SZcqbP5ZArkoz/sw==[/tex] 是一个不可约多项式[tex=1.857x1.357]QF8vxZyGYgv0Fua83iwDhg==[/tex] 的方幂[tex=8.286x1.357]/JdwU+F/7jAF1i3yDrzVNZXXXSQpLwHl4LDB70I5aEk=[/tex]那么[tex=7.214x1.357]yCuU2SpO7qQU4f2CQZeF24/bi2WTXtQtcsp9Cp9Mb1c=[/tex] 或 [tex=13.214x1.5]QWU8R3/n91JuDpl3N7cB3T0mK7RPSM6zh5l8UYTK+r3+eeizYNpOmunKZjNnt93gzdQHcfav7BJKLZ3ErND00Q==[/tex]后一情况下[tex=4.929x1.5]awA/rta5R/K2DFo1P9FlL4dRZWOG/MSydRGgX8a9MeU=[/tex]故有[tex=5.214x1.357]2b+0ZPIn+JhnqeNAq++wBM+CF08EAq9ClmGz91b+CDs=[/tex]充分性. 如果  [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]  不是一个不可约多项式的方葉,那么[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]可表成[tex=7.0x1.5]MXxLR0c0dMpctI/Y+BISbrfptVTPXNoZagtzfIiPhUo=[/tex]其中[tex=1.929x1.357]cBMCto5COhcZsjhhDwmLMw==[/tex]不可约, [tex=13.071x1.357]grBueveQCajar72dLFlD9ty4lXrI3CDImuMLLWl75PJ9FUj8iUfwW33/MZNKEtyF8vgxi31jn+Nu9e4D8NNMnw==[/tex]对上式中的 [tex=2.286x1.357]vTuFiQjm2HC4EBQkfsKx2g==[/tex] 就有 [tex=11.071x1.357]wcMrcQXN87EDvWhj1VJI4Y12vjaTd/V5G92KYhjS9K6LT+n/ZIuGAydNTbfvN9jESDU/u5hx4uV5gD5OR9H0FA==[/tex]而且对任一正整数 [tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex][tex=5.5x1.357]+nK5jOFJO6Oy0+85JczEFcaT6+l1t3wUWxfrqfWDxX0=[/tex]与假设矛盾,所以[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]必须是一个不可的多项式的方mi. 

举一反三

内容

0
证明:次数[tex=1.571x1.071]CdrEIJCr+STODfA15YqEAA==[/tex] 且首项系数为 1 的多项式 [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是,对任意的多项式 [tex=4.071x1.357]Qz1LTo6VameFjnlGq91uhA==[/tex] 由 [tex=6.429x1.357]+R1jMtRVS9GlP1JySUA048TecIGO9b8iyL24oJ7H1i8=[/tex]可以推出[tex=5.0x1.357]+Vkq5DJGKQ2aTyGybHy6maq7W8o+sJ2CRYH7plxEmik=[/tex] 或者对某一正整数 [tex=6.571x1.357]3GjOe+QXIU7Dq/LXjALUkusPGkoxOwhUSwys93/sj1s=[/tex]
1
证明:次数大于0的首一多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是，对任意的多项式[tex=4.357x1.357]F1f8zViUd7VhcJNj5UiMOw==[/tex]由[tex=6.429x1.357]+R1jMtRVS9GlP1JySUA042rLPoIBK7wxj5QpIcRaGxc=[/tex]可以推出[tex=4.5x1.357]FaA0fV7n/wS3/nDLA7r3/A==[/tex],或者对某一正整数[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex],[tex=5.286x1.357]KMZts2a879HuQuu4qlYiGaU8q1l70NvoqNjuWLNQAiQ=[/tex].
2
证明: 次数[tex=1.571x1.143]Rf0+r8M+Nk/QyJvYJcTuVw==[/tex]且首项系数为 1 的多项式[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是某一不可约多项式的方幕的充分必要条件是: 对任意的多项式[tex=4.5x1.357]9MaxUOOD6XnglLsrFKS5jg==[/tex]由 [tex=6.714x1.357]PPTewQDiYIYKJK37NA0z1ByaZCU2y5ibc4iPuti/oUY=[/tex]可以推出[tex=4.786x1.357]0z6Yz7SsR7lX06LarDiBFG7jomooTcEM0XVJGp+ugAY=[/tex]或者对某一正整数[tex=6.571x1.357]Cs/78r95nPYRg3f5IFzUhJjzeYLI6uo/p69o1q5yLC8=[/tex]。
3
[tex=1.714x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]被[tex=6.143x1.357]VlyihGc9V5nI+ZA2We9Nfg==[/tex]除的余式为[tex=2.857x1.143]kuho9NLe06JzO0GT0CK2Ww==[/tex]。（1）多项式[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]被[tex=1.857x1.143]qwC/UisT2YN1keJwcnpw8g==[/tex]除的余式为5。（2）多项式[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]被[tex=2.357x1.143]2uk2nqa2ose16j8VD9EoJA==[/tex]除的余式为7。 A: 条件（1）充分，但条件（2）不充分。 B: 条件（2）充分，但条件（1）不充分。 C: 条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分。 D: 条件（1）充分，条件（2）也充分。 E: 条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分。
4
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是次数大于令的多项式, 求证: [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 等于某个不可约多项式的幂的充要条件是: 对任意非常数多项式 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex], 或者 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 和 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 互素, 或者 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 可以整除 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 的某个幂.