设非零的实系数多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex](即系数都是实数的多项式)满足[tex=6.286x1.5]kUAwGDc6fP/9rXEVgtqko1RVeHa8UUSRXwYBAhKTquQ=[/tex]，其中[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]是给定的正整数，求多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex] 。

2022-06-18

设非零的实系数多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex](即系数都是实数的多项式)满足[tex=6.286x1.5]kUAwGDc6fP/9rXEVgtqko1RVeHa8UUSRXwYBAhKTquQ=[/tex]，其中[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]是给定的正整数，求多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex] 。

答案：

解：当[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是常数[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]时取[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]满足[tex=2.286x1.214]BgmgthW71L4N+rSnhMgMLA==[/tex]即可，设[tex=6.786x1.357]NovbxKl63Ey/milqTcbe//c6IMPZUVOFpV1w6AFY37xcxJWcFctKUsfGsKgHdrk9[/tex]，注意到[tex=3.643x1.5]n6An3ZZLwLTdEFzBBB5ZjnnQHuXmfHHzrWggsls2P/I=[/tex]对所有的[tex=3.286x1.357]zl1S62XSSHgWR6Bp42kgzAESjmVApP2UgvRR49TLM30=[/tex]成立，只要[tex=0.571x1.214]CyLt5nwVs0oLAbCn8AssqQ==[/tex]可取得足够多不同的值就可知[tex=3.643x1.5]kRKnOGN/NlteQEMc32MYDg==[/tex]。对每一个[tex=0.571x1.214]CyLt5nwVs0oLAbCn8AssqQ==[/tex]值，使[tex=3.286x1.357]uuRO66qOzrUcEqh5hxkewcYkPb5kjH7wHN/7dztQf88=[/tex]的[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]值至多[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]个。因此，当[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]取了[tex=1.5x0.786]sERTFhtfFzQVVooSMnGTyA==[/tex]个不同的值时至少能得到[tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex]个不同的[tex=0.571x1.214]CyLt5nwVs0oLAbCn8AssqQ==[/tex]值。[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]可取得无穷多个不同的值，于是有无穷多个不同的[tex=3.286x1.357]zl1S62XSSHgWR6Bp42kgzAESjmVApP2UgvRR49TLM30=[/tex]使[tex=3.643x1.5]EXrcOAg2ers6vPvkRNF9c/Ct1SuhYO3lxPwzp4mCdes=[/tex]，由恒等定理即得[tex=3.643x1.5]5LGSvh48kMeVYJMYe1AJ4w==[/tex]。

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举一反三

内容

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证明：实系数多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]可表为两个实系数多项式的平方和的充分必要条件是对任何的实数 [tex=0.571x0.786]c59+3vo0/Vn/FvNRhDRu5g==[/tex] 都有[tex=3.929x1.357]dxpzZeugwcyGH7ilNz1FuA==[/tex]
1
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是复数域上的多项式, 若对任意的实数 [tex=2.643x1.357]iBJ26CUHVdKHcNejg97vnw==[/tex] 总是实数, 求证: [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是实系数多项式.
2
设[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是实系数[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]次多项式，其中[tex=2.5x1.143]K+Swr2cA+8b62T1YU7nuOw==[/tex]。证明：如果[tex=3.429x1.357]5W4xTQrlz2YsNIZZqereQA==[/tex]，那么[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]无重根且有偶数对虚根；如果[tex=3.929x1.357]vxzECGGRprE9ImOPQXowww==[/tex]，那么[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]无重根且有奇数对虚根。
3
设[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]和[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]是数域[tex=0.643x1.0]Ft8KOBgb78fnKY0jEt4Rsg==[/tex]上两上一元多项式[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]为给定的正整数，求证：[tex=4.5x1.357]ShTuQDB0guSKuvZOgm7LB0dGW2npF11Qsz8N+RlM50c=[/tex]的充要条件是[tex=5.5x1.5]LCGuFyBtoLSMLQDde42e4ThLaqXlbzBEgN6R284jA1M=[/tex]
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设[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]是一个域，证明：在[tex=1.786x1.357]DpXALeWBl8+QhoNGSoieqQ==[/tex]中，一个次数大于0的多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]如果满足[tex=6.714x1.429]KDyX0boGZOlM+etbZfPoiiQiLF0IBxqLIx1hRl0QePRkiq019M1EkAUH7K5K2Mxp[/tex]，那么[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]没有重因式。