给定正整数 [tex=2.643x1.214]XwLeJpDGjv0b7hGZyXvc2g==[/tex]求非零的实系数多项式 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 满足条件[tex=6.786x1.571]LB2yNApLhZyKP315R87/DX5Ns/4mptxR8dhTRairfTOAdBnnYU0PvbEbHs37H7Il[/tex]

2022-06-18

给定正整数 [tex=2.643x1.214]XwLeJpDGjv0b7hGZyXvc2g==[/tex]求非零的实系数多项式 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 满足条件[tex=6.786x1.571]LB2yNApLhZyKP315R87/DX5Ns/4mptxR8dhTRairfTOAdBnnYU0PvbEbHs37H7Il[/tex]

答案：

解 设 [tex=18.929x1.5]84e4VDcMQizbuEhyUYGO0BbQ3hSgwsxqFxv3TKY6B/83ClKlN986xEwarJDnUpXcyj69PAsUIs32QSN1we6FioV4DZ2TgzRo6+A0/ispah8=[/tex]比较 [tex=8.071x1.571]LB2yNApLhZyKP315R87/DXFro1cDaF+2oyrSsmLjDbJ1+wUjGjfTrFvQ3vMvQlGC[/tex]与[tex=8.357x1.5]ybhuToGFOIahMGj8+SHX6gpRBTP9sYv51/O5Rt6XyoELrGpYVFms/9y8GC4qh0BF[/tex] 的首项系数得[tex=2.714x1.5]xjtlVLv3VjF6B9Bf8ep8TCdtbFiaS/7s3NAvyFwUdSA=[/tex]从而 [tex=3.429x1.5]dBA2ol3+lJ9va4ftpcX21U+bYMJ3dfOerxu0FHrCid4=[/tex] 当 [tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]为偶数时 [tex=1.857x1.143]y7i0KNMTbem23CcX+abErQ==[/tex] 为奇 数, [tex=7.214x1.5]Dus+fZP18I+P9l/QIFv32f/1wTWbBkYvkhGYg9SEemxM/y+c/Baak+1CyPuuCe9a[/tex] 当 [tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex] 为奇数时, [tex=4.786x1.214]mLIwqsZTsrnBMm7gcfcopPO90C7huUVpXp8Ff1k4iBI=[/tex]如果 [tex=4.643x1.357]84e4VDcMQizbuEhyUYGO0A6CgDsdLj8EDjkJCnSEk4E=[/tex] 只有一项不为 0, 则当[tex=2.571x1.214]TGSaLUSrNLbKLHzZXc6zYw==[/tex]或 [tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]为偶数且[tex=3.286x1.214]GPaIEp2g7j3zKa1lbqIBJQ==[/tex]则 [tex=4.643x1.357]84e4VDcMQizbuEhyUYGO0A6CgDsdLj8EDjkJCnSEk4E=[/tex] 已经符合要求. 以下设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 至少有两个不同次数的非零项，除了首项 [tex=2.0x1.214]DWyVz+CHo34wASYtHaTF/Q==[/tex]之外的最高次非零项为 [tex=2.643x1.214]angeR5mHLG/zRC+w3fuHxw==[/tex]即 [tex=14.357x1.357]84e4VDcMQizbuEhyUYGO0OGvbog1Izu1eExoOQ1S9MK8dQFiccWvWU3hynrI2Z0/23CMVLnCENcyHFpXwN+4RA==[/tex]其中[tex=6.071x1.214]CT7FnI6/sUTOruX4QE4EbkDHoOHf8mUUYDBIbH2UwtU=[/tex]且[tex=3.286x1.214]c5mTgdkBvVl6C2CEyrOiQelquh2zdbEk3e6LZL8+xjI=[/tex]比较[tex=26.5x3.643]qeiYnKXLEhyhuGRg8yLtr84TgJ++9A2plBXIuEoixn5bLixDjPsFPou1TxiNyoWs8g8+WBTP4TFy6h4Kh27KVkBIXShlSJ8VqD2iN8qWIlx/FKiECQArsFuPmShp8nw+NTX7cGeIUfE1U3/kw6x59TmvPRYVIdNWYs10EiiQBmTeVXJn75AgOsM+fbJgOrip6GsQXhdI4WWh5TmJit14Fmmbg0AMhMUvAWqzaTXGPkDzQZe5ocAwVDw7nlNr+3apFmv6oYSsQ3XL3cq4KyH2jIjgpOfvC8fN0ToFTQ4ZttM=[/tex]的次高次项 ( 除了首项之外的最高次项 ) . [tex=2.571x1.571]qz8qyo39F143fQmAFGRp70Ci6wlNNuFWBKhzZpCZXaI=[/tex] 的次高次项 [tex=2.786x1.429]QlLOoobd/G2sce4ywSUOgA==[/tex]次数为 [tex=1.714x1.0]0Iplsbqocre39g6v3AFBNg==[/tex]而 [tex=3.071x1.5]PhI+QY4dgMZwhE5eVnK8ew==[/tex]的次高次项 [tex=7.571x1.571]TbhsAB1XanDFk7WumhUUlfdl/sZ9xWsT35/kZJLpabyiCUEeo9cdeqOJQSsOc6eU[/tex]的次数为 [tex=5.143x1.357]0h9PDrkcHZohoAiRlgy3fg==[/tex] 而[tex=23.429x1.357]I/y9BYuPgjj19kAgTvkOEG9df/HuC0SC2pdW6vUeV93CP82LIua0VD26e3dbHEeo[/tex]这说明两个多项式[tex=2.571x1.571]LB2yNApLhZyKP315R87/DQwedLzCZ731OWXDb5xUYQQ=[/tex] 与 [tex=3.071x1.5]PhI+QY4dgMZwhE5eVnK8ew==[/tex]的次高次项的次数不同，这两个多项式不可能相等. 因此，满足条件的 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]只能是 [tex=1.429x1.357]xFdEWi1UckFPkobPmd0l9g==[/tex] 当 [tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex] 为偶数 [tex=0.429x1.357]VJTYmdtttZvFrSMSWqFgqw==[/tex] 或 [tex=2.214x1.357]W+fE/95V+HJVCtQyD+cL9A==[/tex]当[tex=0.571x1.0]rFc/sfAAuCOtzhevhoREeA==[/tex]为奇数).

举一反三

内容

0
证明:次数大于0的首一多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是，对任意的多项式[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]或者有(f(x), g(x))=1[tex=6.786x1.357]LBShIAKXyumE73h8+CWE0g==[/tex],或者对某一正整数[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex],[tex=5.214x1.357]2b+0ZPIn+JhnqeNAq++wBM+CF08EAq9ClmGz91b+CDs=[/tex].
1
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是复数域上的多项式, 若对任意的实数 [tex=2.643x1.357]iBJ26CUHVdKHcNejg97vnw==[/tex] 总是实数, 求证: [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是实系数多项式.
2
[tex=1.714x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]被[tex=6.143x1.357]VlyihGc9V5nI+ZA2We9Nfg==[/tex]除的余式为[tex=2.857x1.143]kuho9NLe06JzO0GT0CK2Ww==[/tex]。（1）多项式[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]被[tex=1.857x1.143]qwC/UisT2YN1keJwcnpw8g==[/tex]除的余式为5。（2）多项式[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]被[tex=2.357x1.143]2uk2nqa2ose16j8VD9EoJA==[/tex]除的余式为7。 A: 条件（1）充分，但条件（2）不充分。 B: 条件（2）充分，但条件（1）不充分。 C: 条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分。 D: 条件（1）充分，条件（2）也充分。 E: 条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分。
3
设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]是实系数多项式，求证：(1) 若 [tex=4.0x1.357]4xX2ZK17ay5biPFwGeUUHA==[/tex], 则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 无重根且有奇数对虚根;(2) 若 [tex=4.0x1.357]tiPcAPj/8sVdzkpb54VwWQ==[/tex], 则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 无重根且有偶数对虚根.
4
设[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]满足[tex=7.357x1.357]v0EsoswsuaK89q34elWXwnX8Xx3QbYAbLMGq2vpPauw=[/tex]，求[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]。