设有定义在可测集 [tex=3.357x1.071]/KHpRJHcL3r7p+iFXjd9MbLlQgUXZqkjWduZo1Efs+Q=[/tex] 上的函数 [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex], 且对任给的 [tex=2.286x1.071]QW2iyflVCSpV4GGYZYloJQ==[/tex], 存在 [tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex] 中的闭集 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex], [tex=5.429x1.286]yNVmkWEjKOepNHSKm5bkxf/DmwVJkgVgHxWed7aYD0E=[/tex], 使得 [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex] 在 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上连续, 试证明 [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex] 上的可测函数. (已知: 设 [tex=3.286x1.286]6ptcThgjAJdQjJm+ORDVaYgb8Fya4JzqJjFaGR4ZFag=[/tex] 是 [tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex] 上的可测函数列, [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex] 是 [tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex] 上的实值函数. 若对任给的 [tex=2.286x1.286]agbj3VZO5e3/0KnI5wCMSKLl3aP3w8IOLV//cMDwSdM=[/tex], 都有 [tex=8.5x1.571]I5PocycXYSmqX9keDWPEO+fCSxoggqXxSAFlPelZwQ0qCH/cQT7Fw0xQaakebv7bMFSqEoX43nxC/f8xPF8CaQ==[/tex][tex=10.357x1.286]y9z200qAkYoq/Zy8ZIp6/Td3mKhv9SB7egkGDO+ngwpqJ6DuSpKdpWbQl0w44wjcIIDFdbGsV9x5m2xE2uBghQ==[/tex], 则 [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex] 是 [tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex] 上的可测函数.)
举一反三
- 设[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是可测集[tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex]上的非负可测函数，试利用定理1. 3 证明(2) 若[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]还是有界的，则存在非负上升的简单函数列[tex=2.143x1.357]6neFUXQSMEb2KdQQeK7LqQWMvIZETs9PtatB8HA02Rg=[/tex]， 使[tex=2.429x1.357]sMlw5nJcocmSMNK7l2GI9w==[/tex]在[tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex]上一致收敛于[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]
- 设[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是可测集[tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex]上的可测函数，[tex=3.214x1.214]n/FWacfElP9kz2kQ9RVIgQ==[/tex]可测，则[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]也是[tex=1.143x1.214]T4nTAteHkBqm9ExuFPG05A==[/tex]上的可测函数。
- 证明：次数＞０ 且首项系数为 １ 的多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是一个不可约多项式 的充分必要条件是，对任意多项式[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]必有(f(x), g(x))=1，或者对某一正整数[tex=6.0x1.357]bR39wf/Hz75eMrt08Xqk8wt4bXTUCgLbWgBjqC5Zmko=[/tex]．
- 解答下列问题：设[tex=3.286x1.357]j73XNdvMFeeWkOCvqEdaxw==[/tex]是[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上的可测函数列，[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上的实值函数. 若对任给的 [tex=2.357x1.071]zaTYmiB02c3fW3zvAQdizg==[/tex],都有[tex=17.571x1.786]Q9IYTFR3kTY3iJCCC2wa7yaX2i6vzOPdC4GGGUrQy/6PH+a0MlEhaDf2xYkbsM7WYSicdkrBFaENnzCC97JiiGIjHgrXxKtHQlqbVZ1A+JWyxTRG0hIU3Cb09SjWNDN9R7P7CBCbXGOUri+JFF5fgMWs7Xv3BH8FBzkvtgkgouk=[/tex],试问 [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex] 是 [tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上的可测函数吗 ?
- 证明:次数大于0的首一多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是，对任意的多项式[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]或者有(f(x), g(x))=1[tex=6.786x1.357]LBShIAKXyumE73h8+CWE0g==[/tex],或者对某一正整数[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex],[tex=5.214x1.357]2b+0ZPIn+JhnqeNAq++wBM+CF08EAq9ClmGz91b+CDs=[/tex].