设[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是可测集[tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex]上的可测函数，[tex=3.214x1.214]n/FWacfElP9kz2kQ9RVIgQ==[/tex]可测，则[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]也是[tex=1.143x1.214]T4nTAteHkBqm9ExuFPG05A==[/tex]上的可测函数。
举一反三
- 设[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是可测集[tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex]上的非负可测函数，试利用定理1. 3 证明(2) 若[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]还是有界的，则存在非负上升的简单函数列[tex=2.143x1.357]6neFUXQSMEb2KdQQeK7LqQWMvIZETs9PtatB8HA02Rg=[/tex]， 使[tex=2.429x1.357]sMlw5nJcocmSMNK7l2GI9w==[/tex]在[tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex]上一致收敛于[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]
- 设有定义在可测集 [tex=3.357x1.071]/KHpRJHcL3r7p+iFXjd9MbLlQgUXZqkjWduZo1Efs+Q=[/tex] 上的函数 [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex], 且对任给的 [tex=2.286x1.071]QW2iyflVCSpV4GGYZYloJQ==[/tex], 存在 [tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex] 中的闭集 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex], [tex=5.429x1.286]yNVmkWEjKOepNHSKm5bkxf/DmwVJkgVgHxWed7aYD0E=[/tex], 使得 [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex] 在 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上连续, 试证明 [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex] 上的可测函数. (已知: 设 [tex=3.286x1.286]6ptcThgjAJdQjJm+ORDVaYgb8Fya4JzqJjFaGR4ZFag=[/tex] 是 [tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex] 上的可测函数列, [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex] 是 [tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex] 上的实值函数. 若对任给的 [tex=2.286x1.286]agbj3VZO5e3/0KnI5wCMSKLl3aP3w8IOLV//cMDwSdM=[/tex], 都有 [tex=8.5x1.571]I5PocycXYSmqX9keDWPEO+fCSxoggqXxSAFlPelZwQ0qCH/cQT7Fw0xQaakebv7bMFSqEoX43nxC/f8xPF8CaQ==[/tex][tex=10.357x1.286]y9z200qAkYoq/Zy8ZIp6/Td3mKhv9SB7egkGDO+ngwpqJ6DuSpKdpWbQl0w44wjcIIDFdbGsV9x5m2xE2uBghQ==[/tex], 则 [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex] 是 [tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex] 上的可测函数.)
- 试证明下列命题：设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 定义在可测集 [tex=3.357x1.071]N9m+uQveFyIaAl7YOqTjMf+0L1vbyIMb/wQ2HJ3j7+k=[/tex] 上.若 [tex=2.357x1.5]lFYFwE5lpxh9RCcHJ7RIYg==[/tex]在[tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex]上可测，且[tex=6.929x1.357]t8HWzjC8vbBPniXHvr8BeEdNFqTYQBUSv5X1HBPUiO4=[/tex] 是可测集,则[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex] 上可测.
- 设[tex=1.857x1.357]Fuvm9Mwml7lIOgc0vriwJw==[/tex]是[tex=1.143x1.214]99izTVkOg6z3Ylatn6B9Ww==[/tex]中可测子集[tex=0.786x1.0]mfjRqhorWjKnT4vuQia3hQ==[/tex]上的单调函数，证明[tex=1.857x1.357]Fuvm9Mwml7lIOgc0vriwJw==[/tex]在[tex=0.786x1.0]mfjRqhorWjKnT4vuQia3hQ==[/tex]上可测.
- 设[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]在可测集[tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex]上可测，[tex=0.786x1.0]ri6gmnf1+J9dGqG5/1sV6A==[/tex]是[tex=0.929x1.0]56hApSzAggyB8sjmsuaFgA==[/tex]中的博雷尔集，试证明[tex=3.071x1.5]8LG/yCNHGM0ElAs2vqub6Q==[/tex]是可测集(提示:令[tex=9.071x1.5]NOuw0q6FmhkRAyKbTvXrjUasI5IgNeJFWN8YcOUrghgcXiAhuv0Jck1ecUfr8T85RO8KQhM762uGycSUqR8L/A==[/tex]可测[tex=0.5x1.357]nVjgQFxyAKgBcxmR+uZJmw==[/tex]，则[tex=0.929x1.0]WhDCGYfKmWcWBKX8vkR9CA==[/tex]是包含开集全体的[tex=0.571x0.786]KMF8QHqVjNLkn7nK5uaSag==[/tex]代数)