设 [tex=0.714x1.0]RRR4SYyCqv01G5bWEEMPdw==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]pL+9s9nh77uX8/Gl5SRykA==[/tex] 中的不可测集,证明:存在[tex=5.071x1.214]x7RJXeG5RWlGo3aCH+iNwBEsg7jxayJ2LH5ClUh1LLc=[/tex], 使得对 [tex=2.0x1.357]pL+9s9nh77uX8/Gl5SRykA==[/tex] 中任一满足 [tex=4.214x1.357]MzuaJa9dpBgNKe6rkz5BRCUs8/gIHKZHD+w2OpkO4g8=[/tex] 的可测集 [tex=3.714x1.214]gWlcE/WOfI8ydfnJJSiIjw==[/tex] 均是不可测的.
举一反三
- 设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是[tex=2.0x1.357]pL+9s9nh77uX8/Gl5SRykA==[/tex]中的不可测集，证明存在[tex=4.143x1.071]foEe0bX/HiE5m+5XK4O1oQ==[/tex]，使得对[tex=2.0x1.357]pL+9s9nh77uX8/Gl5SRykA==[/tex]中任一满足[tex=3.429x1.143]3kInYXL7KglKF9opo6+E208LHQuHr81UP2RJmXlIZps=[/tex]的可测集[tex=3.786x1.214]1C8YWn1GyFaWZo6LcXsKvA==[/tex]均是不可测集。(提示:用反证法，设[tex=4.0x2.357]Ya0P7AeSIwzljpdSih4Ls2nlNcBmDaCgFicJZSszDfs=[/tex]，存在可测集[tex=4.5x1.357]sSgG4FGVFXyPdkfA4yXe2sjMn3B8lX7bp3uvQG8TiOo=[/tex]，使[tex=5.714x2.357]O8ndCxR7Z2RPuyH2D96wFJcTyQ+TtihbzQhEiyyp/ws=[/tex]，而[tex=3.071x1.214]dhCrjd06nS60zmWa17VLcw==[/tex]可测，利用[tex=21.143x3.357]heZMQ3r0U860u5hsqLoCG6wX7RUqzTZHFi1QAtEA7XFbmIW0PHaNKdvVnO/dqmkMqLHnWJiPMapduqdyNAdQvhwvZi0/JEqI6HPrT/5tx8dKU3EwA2BPpsJoOlX5H+jZ2yhbCwUeRHKfimY+XdyP8HDHBP2I409gFzikJoxFkob7c465dt0fLHUJ1CHgHbdW[/tex]推出[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]可测)
- 设 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 是 [tex=2.0x1.357]pL+9s9nh77uX8/Gl5SRykA==[/tex] 中可测集,若 [tex=3.714x1.357]TiA+F1K0JpZViol/PQ2VPQ==[/tex], 证明对任意可测集 [tex=12.0x1.357]xt5BtlToPhMVxaAkOIiRiYNWFLmhzOYRvqvJ/03XRcRPNrBo5JxoQIF4x8BT7Tly[/tex].
- 试求定义在 [tex=2.0x1.357]pL+9s9nh77uX8/Gl5SRykA==[/tex] 上的函数，它是 [tex=2.0x1.357]pL+9s9nh77uX8/Gl5SRykA==[/tex] 与 [tex=2.0x1.357]pL+9s9nh77uX8/Gl5SRykA==[/tex] 之间的一一对应,但在 [tex=2.0x1.357]pL+9s9nh77uX8/Gl5SRykA==[/tex] 的任一子区间上都不是单调函数.
- 设在[tex=2.0x1.357]pL+9s9nh77uX8/Gl5SRykA==[/tex]上有[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]个可测集[tex=5.786x1.214]tMBgJvl4DBVEh8itVD2PxMCz1nc0LEsdboRBUDprPPE=[/tex]如果[tex=2.0x1.357]pL+9s9nh77uX8/Gl5SRykA==[/tex]中每一个点至少属于上述[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]个集中的[tex=0.5x1.0]NSsYk+dfiqXGkmCPT5DyRg==[/tex]个集,则[tex=5.786x1.214]oGsI68JVHRZ1JmQGfew7pg70EuIlOUyYWIVErpkt9v8=[/tex]中至少有一集具有测度[tex=1.786x2.143]3WXxqEoC4hWZxXwsu6R9kXSb8vJY6PJoxhkHQaPjKyA=[/tex].
- 设由[tex=2.0x1.357]pL+9s9nh77uX8/Gl5SRykA==[/tex]中取出 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]个可测子集[tex=6.286x1.214]RwHNhKnsJE7/U9e6rjTMWNwjbalxGWzDRU455ijC9QA=[/tex], 假定[tex=2.0x1.357]pL+9s9nh77uX8/Gl5SRykA==[/tex]中任一点至少属于这 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]个集中 的 [tex=0.5x1.0]jedlXyMYwmfVwxRj2j9sSw==[/tex]个，试证必有一集，它的测度大于或等于[tex=1.857x1.357]fQeXgfKDPec+KYD4YDQ2SQ==[/tex]