设[tex=3.5x1.357]1zJHZig9KIFuB/Px6wfp5MGg92Zd71mJVPkZnLdqEqc=[/tex]是一个环，且对所有[tex=2.0x1.071]uIrQpyHDCcqFaqZZEmU59g==[/tex]有[tex=2.286x1.214]CMJZtz4RRi9Ex8L7JiW1zw==[/tex]，这样的环称为布尔环，证明[tex=3.5x1.357]1zJHZig9KIFuB/Px6wfp5MGg92Zd71mJVPkZnLdqEqc=[/tex]是个可交换环。

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2022-06-19

设[tex=3.5x1.357]1zJHZig9KIFuB/Px6wfp5MGg92Zd71mJVPkZnLdqEqc=[/tex]是一个环，且对所有[tex=2.0x1.071]uIrQpyHDCcqFaqZZEmU59g==[/tex]有[tex=2.286x1.214]CMJZtz4RRi9Ex8L7JiW1zw==[/tex]，这样的环称为布尔环，证明[tex=3.5x1.357]1zJHZig9KIFuB/Px6wfp5MGg92Zd71mJVPkZnLdqEqc=[/tex]是个可交换环。

答案：

证明：因为[tex=3.071x1.071]zsBGNn6AHCGX+5ITFVf/wQ==[/tex]有[tex=2.286x1.214]CMJZtz4RRi9Ex8L7JiW1zw==[/tex]，因此[tex=3.429x1.214]SJ4bvaHkMb4yv1bKPROhUVxlPMoLtu3m9eMtzV4q2A8=[/tex]有[tex=9.143x1.357]NJxEN6PHcVUg2gXkszQODVvnVqd815iUj0Pev+V3O9I=[/tex][tex=12.0x1.357]sjc7qB7RbG/i8ngOKjSTQke9TgmSj8YaZgpHnpM7470=[/tex]，因此[tex=4.0x1.143]Bi8Eutn2biKzXcDYRXaWOw==[/tex]，[tex=15.286x1.357]utEF0D5NVtl5IgJ1+FaYJGTYWekoWaVMPYK54L2fwqNXLEdvIa45QtSBX1UEGiVg[/tex]，因而[tex=3.5x1.357]1zJHZig9KIFuB/Px6wfp5MGg92Zd71mJVPkZnLdqEqc=[/tex]是可交换环。

举一反三

内容

0
设[tex=3.214x1.357]oL5z0msbdM2jhC7gcfwDSijP/gyhXXSeY1At1l/R8mo=[/tex]是环，若[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的乘法运算[tex=0.357x0.786]3stqUD60J3TENUtnNSZsDFQMqfP8url0oAjL7awVSBI=[/tex]满足幂等性，即对于任意[tex=2.0x1.071]KGor3YkvnAcL7GdRJvfuNA==[/tex]有[tex=2.786x0.786]YzwMFgC+vEwkRU9i8gKO6Q==[/tex]，则称[tex=3.214x1.357]oL5z0msbdM2jhC7gcfwDSijP/gyhXXSeY1At1l/R8mo=[/tex]是布尔环。证明：布尔环是交换环。
1
试证: 环 [tex=3.5x1.357]jWj4WiFYw5YDpARxy9DdPwOqxDEzY3r7S+ItrY3ijMk=[/tex]是可交换的[tex=1.0x0.643]bMRrINhuwlMbjrHDeWypogdkWGb3ojVpD4vc6TFnQGs=[/tex]对任意元[tex=2.857x1.214]NA8Q8F11StPdkIzzu8pTNQ==[/tex], 有[tex=9.0x1.5]23M9OKA0RFGVxXcDU+j4VmQMs/hN9qqR1GukXdak8Eq+IpTDnwBbr6xNQ4BFz95F[/tex]
2
设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是一个环, [tex=2.0x1.071]oYU6699DPbu9TiKgTE5IEg==[/tex]. 证明 :[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]对以下二运算[p=align:center][tex=10.786x2.786]c8gX0O6CKBpyqTBZ2fB4Dg4OilMZFIykn6wqx26v/ft2WbzX9YovTjcJWu178wS23+g/vcBeBZVdEiFFwz2fBD3xuQjWLCCeTcojW7TB3v0=[/tex]作成一个环且与原来的环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]同构.
3
设环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 对加法作成一个循环群，证明 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是交换环。
4
设 [tex=0.643x1.214]4ssBDc1re7hhNB3dpzYmRg==[/tex] 为环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 到环 [tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex] 的满同态. 证明: 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是交换环, 则 [tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex] 也是交换环.